-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.....,
-Bi '
·;:::-..
>- 0.
0
u
Pour étudier la classe par morceaux
d'une application à valeurs vectorielles,
on peut se ramener à celle d'applications
à valeurs réelles ou complexes.
Attention à ne pas confondre :
(i) : f est continue sur I et est de classe
C
1 par morceaux sur 1 et
(ii) : f est de classe C
1 par morceaux
sur/.
Parexemple,l'applicationf : lR. ~ lR.
x,_.E(x)
est de classe C 1 par morceaux sur JR.,
mais n'est pas continue.
Dans le théorème ci-contre, la continuité
defest indispensable.
2.2 • Dérivation
2) Réciproquement, supposons l de classe e n sur I et l ' > 0 (le cas l ' < 0 s'y ramène en considérant - j).
1
Le Théorème 3 montre quel est bijective, et que l- 1 est dérivable sur Jet : (f- 1 )' =
1
•
l ' o l -
Cette dernière formule montre que (f- 1 )' est continue (puisque l ' et l- I sont continues). Une récurrence immédiate permet alors, à partir de cette même formule, de montrer que, pour tout k E { 1, ... , n} ,
l - I est de classe Ck sur J. En particulier, l - I est de classe en sur J.
Remarque : D'après le théorème des valeurs intermédiaires, puisque l ' est continue sur l'intervalle J, la condition (f' > 0 ou l' < 0) peut être remplacée par :l' ne s'annule en aucun
point.
3) Applications de classe C
11 par morceaux
---i
Soient (a ,b) E ~
2 tel que a < b,f: [a; b]-----+ E, n E N U {+oo}. On dit quef est
de classe en par morceaux sur [a; b] si et seulement s'il existe m E N* et
(ao , ... ,am) E ~m + I tels que:
I
• a = ao < ... < am = b
• pour tout i de { 0, ... , m - 1}, la restriction f 1 1
. . . [ admet un
a, ,a,+1
prolongement à [ai; ai + I] qui soit de classe en sur [ai; ai + I].
J
Dans le cas n = 0 , on retrouve la Déf. 1 de 2.1.6 p. 106 (continuité par morceaux sur un segment).
Remarque : Si f est de classe en par morceaux sur [a; b]. alors, pourtout k de {1 , .. . ,n }.f(k)
est définie sur [a; b] sauf au plus en un nombre fini de points.
Soient n E N U {+oo},f E E 1 . On dit quef est de classe e
11 par morceaux sur I si
et seulement si, pour tout (a ,b) de 1
2 tel que a < b,f l[a ;b] est de classe en par mor- j
ceaux
La Proposition suivante est immédiate, et généralise 2.1.6 Prop. 2 p. 107.
Supposons que E soit muni d'une base B.
Soient n E NU { +oo},f E E
1 ,J1, ... .f N les applications composantes de f dans B.
Pour que f soit de classe en par morceaux sur I , il faut et il suffit que, pour chaque
j de { 1 , ... , N}, fj soit de classe en par morceaux sur I.
Exemple:
L'application IR _____,, C est de classe C
00 par morceaux sur IR.
H-+ eilt l
Soit f : I -----+ E continue sur I et e
1 par morceaux sur I. Alors f est constante si et
seulement si f' = 0.
Preuve
Tl est clair que, sil est constante, alors l' = 0.
Réciproquement, supposons l ' = 0.
Î
Soit (a ,b) E /
2 tel que a < b. Puisque lest continue sur / et C
1
par morceaux sur/, l lra:bl est continue sur [a ; b] et C
1 par morceaux sur [a ; b]. Tl existe m E N*, (a 0 , ... ,am ) E IRm+ i tels que :
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Pour étudier la classe par morceaux
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on peut se ramener à celle d'applications
à valeurs réelles ou complexes.
Attention à ne pas confondre :
(i) : f est continue sur I et est de classe
C
1 par morceaux sur 1 et
(ii) : f est de classe C
1 par morceaux
sur/.
Parexemple,l'applicationf : lR. ~ lR.
x,_.E(x)
est de classe C 1 par morceaux sur JR.,
mais n'est pas continue.
Dans le théorème ci-contre, la continuité
defest indispensable.
2.2 • Dérivation
2) Réciproquement, supposons l de classe e n sur I et l ' > 0 (le cas l ' < 0 s'y ramène en considérant - j).
1
Le Théorème 3 montre quel est bijective, et que l- 1 est dérivable sur Jet : (f- 1 )' =
1
•
l ' o l -
Cette dernière formule montre que (f- 1 )' est continue (puisque l ' et l- I sont continues). Une récurrence immédiate permet alors, à partir de cette même formule, de montrer que, pour tout k E { 1, ... , n} ,
l - I est de classe Ck sur J. En particulier, l - I est de classe en sur J.
Remarque : D'après le théorème des valeurs intermédiaires, puisque l ' est continue sur l'intervalle J, la condition (f' > 0 ou l' < 0) peut être remplacée par :l' ne s'annule en aucun
point.
3) Applications de classe C
11 par morceaux
---i
Soient (a ,b) E ~
2 tel que a < b,f: [a; b]-----+ E, n E N U {+oo}. On dit quef est
de classe en par morceaux sur [a; b] si et seulement s'il existe m E N* et
(ao , ... ,am) E ~m + I tels que:
I
• a = ao < ... < am = b
• pour tout i de { 0, ... , m - 1}, la restriction f 1 1
. . . [ admet un
a, ,a,+1
prolongement à [ai; ai + I] qui soit de classe en sur [ai; ai + I].
J
Dans le cas n = 0 , on retrouve la Déf. 1 de 2.1.6 p. 106 (continuité par morceaux sur un segment).
Remarque : Si f est de classe en par morceaux sur [a; b]. alors, pourtout k de {1 , .. . ,n }.f(k)
est définie sur [a; b] sauf au plus en un nombre fini de points.
Soient n E N U {+oo},f E E 1 . On dit quef est de classe e
11 par morceaux sur I si
et seulement si, pour tout (a ,b) de 1
2 tel que a < b,f l[a ;b] est de classe en par mor- j
ceaux
La Proposition suivante est immédiate, et généralise 2.1.6 Prop. 2 p. 107.
Supposons que E soit muni d'une base B.
Soient n E NU { +oo},f E E
1 ,J1, ... .f N les applications composantes de f dans B.
Pour que f soit de classe en par morceaux sur I , il faut et il suffit que, pour chaque
j de { 1 , ... , N}, fj soit de classe en par morceaux sur I.
Exemple:
L'application IR _____,, C est de classe C
00 par morceaux sur IR.
H-+ eilt l
Soit f : I -----+ E continue sur I et e
1 par morceaux sur I. Alors f est constante si et
seulement si f' = 0.
Preuve
Tl est clair que, sil est constante, alors l' = 0.
Réciproquement, supposons l ' = 0.
Î
Soit (a ,b) E /
2 tel que a < b. Puisque lest continue sur / et C
1
par morceaux sur/, l lra:bl est continue sur [a ; b] et C
1 par morceaux sur [a ; b]. Tl existe m E N*, (a 0 , ... ,am ) E IRm+ i tels que :
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