Chapitre 2 • Fonctions vectorielles d'une variable réelle
~ Théorème très utile en pratique.
-0
0
c
::J
0
(V)
.-t
0
N
@
.....,
.s::
Ol
·;:
>- 0.
0
u
118
Soit n EN U {+oo}.
1) Soient À : l -----+ OC de classe en sur I , f : I -----+ E de classe en sur I. Alors J...f
est de classe en sur l et (si n E N) :
n
k
(J...t)(n) = z= en À (k) i k=O
2) Soient (E,(.I.)) un espace euclidien ou hermitien,f,g: I-----+ Ede classe en sur
!. Alors (f lg) : l -----+ OC
est de classe en sur let (sin EN) :
tt----+ (f (t) lg(t ))
n
k
(flg)n = L Cn(f(k)lg(n-k)).
k=O
3) Soient E un espace euclidien orienté de dimension 3,f,g : l -----+ Ede classe en
tt----+ f (t)/\g (t)
sur/. Alors/ /\ g : l -----+ E
est de classe en sur let (sin EN):
J
l
n
k
(f A g)M ~ L C.1(k) A g(•-k).
.
k=O
~~~~~~~~~~~~~~~
Soient n EN U {+oo}, l,J deux intervalles de IR, f: l -----+ IR, g: J-----+ E telles l
que/(!) c J; on note (abusivement) g o f: l-----+ E .
ft----+ g(f (t))
Si f et g sont de classe en, alors g o f est de classe en sur I.
Preuve
Comme dans Analyse MPSI, 5.1.5 Th. 2.
2) e
11 -difféomorphismes
J
•
~
Soient l ,J deux intervalles de IR,f : l-----+ J, n EN* U {+oo}. On dit que/ est un
e
11 -difféornorphisrne de l sur J si et seulement si :
l __ l
f est de classe en sur l
f est bijective
1- 1 est de classe en sur J. _J
l
Soient l , J deux intervalles de IR,/ : I -----+ J = f (!) , n E N* U { +oo} . Pour que f
soit un en-difféomorphisme de l sur J, il faut et il suffit que :
{
f est de classe en sur l
J
! ' > 0 ou !' < O.
.
~~~~~~~~~~-Preuve
1) Supposons que f soit un C
11 -difféomorphisme de l sur J. En particulier, f et 1- 1 sont de classe C
1 et
(f -
1 o f)'= 1, d'où ((f1
)' o f)f' = 1. Ceci montre que f' ne s'annule en aucun point de
l'intervalle l ; comme f' est continue, le théorème des valeurs intennédiaires montre : f' > 0 ouf' < 0.