Chapitre 2 • Déterminants
36
2.1 Le groupe symétrique
Rappelons que, pour n ∈ N ∗ , S n désigne l'ensemble des permutations de {1,. . . ,n} c’est-à-dire
l’ensemble des bijections de {1,. . . ,n} dans lui-même, et que Card(S n ) = n! .
2.1.1 Structure de S n
Proposition
S n est un groupe pour la loi ◦, appelé groupe symétrique.
Preuve
1) ∀ρ,σ ∈ S n , σ ◦ ρ ∈ S n car la composée de deux bijections est une bijection.
2) ◦ est associative.
3) Id {1,...,n} ∈ S n .
4) Pour tout σ de S n , σ est bijective et σ
−1
∈ S n .
Par commodité, nous noterons e l'identité de {1,. . . ,n}.
Une permutation σ de S n sera notée :
1
2
. . .
n − 1
n
σ (1) σ(2) . . . σ (n − 1) σ(n)
.
2.1.2 Transpositions
On suppose ici n 2.
Définition 1
Pour tout (i, j) de {1,. . . ,n}
2 tel que i < j, on appelle transposition échangeant i et
j, et on note τ i, j (ou : τ i j , ou : (i, j)) la permutation de {1,. . . ,n} définie par :
τ i, j (i) = j, τ i, j ( j) = i, τ i, j (k) = k pour tout k de {1,. . . ,n} − {i, j}.
Exemple :
Pour n = 5, τ 2,4 = (2,4) =
1 2 3 4 5
1 4 3 2 5
.
Remarques :
1) S n contient exactement C
2
n transpositions.
2) Toute transposition est involutive.
Théorème 1
Les transpositions de {1,. . . ,n} engendrent le groupe S n .
Autrement dit, toute permutation de {1,. . . ,n} est décomposable (d'au moins une
façon) en un produit de (plusieurs) transpositions.
Preuve :
Récurrence sur n.
S 2 = {e,τ 1,2 } et e = τ
2
1,2 , donc {τ 1,2 } engendre S 2 .
Soit n ∈ N tel que n 2 . Supposons que les transpositions de {1,. . . ,n} engendrent S n , et soit
σ ∈ S n+1 .
2
4
4
2
Rappel de définition : une permutation
d’un ensemble est une bijection de cet
ensemble sur lui-même.
Les éléments de {1,. . . ,n} sont placés
en ligne.
L’image d’un élément de {1,. . . ,n} par
σ est placé juste en dessous de cet
élément.
Exercice 2.1.1.
La transposition τ i, j échange i et j et
laisse les autres éléments inchangés.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
τ 2,4 échange 2 et 4, et laisse 1, 3, 5,
inchangés.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Ainsi,la propriété voulue est vraie pour
n = 2 .
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
C’est-à-dire :
τ i, j ◦ τ i, j = e.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
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2.1 Le groupe symétrique
Rappelons que, pour n ∈ N ∗ , S n désigne l'ensemble des permutations de {1,. . . ,n} c’est-à-dire
l’ensemble des bijections de {1,. . . ,n} dans lui-même, et que Card(S n ) = n! .
2.1.1 Structure de S n
Proposition
S n est un groupe pour la loi ◦, appelé groupe symétrique.
Preuve
1) ∀ρ,σ ∈ S n , σ ◦ ρ ∈ S n car la composée de deux bijections est une bijection.
2) ◦ est associative.
3) Id {1,...,n} ∈ S n .
4) Pour tout σ de S n , σ est bijective et σ
−1
∈ S n .
Par commodité, nous noterons e l'identité de {1,. . . ,n}.
Une permutation σ de S n sera notée :
1
2
. . .
n − 1
n
σ (1) σ(2) . . . σ (n − 1) σ(n)
.
2.1.2 Transpositions
On suppose ici n 2.
Définition 1
Pour tout (i, j) de {1,. . . ,n}
2 tel que i < j, on appelle transposition échangeant i et
j, et on note τ i, j (ou : τ i j , ou : (i, j)) la permutation de {1,. . . ,n} définie par :
τ i, j (i) = j, τ i, j ( j) = i, τ i, j (k) = k pour tout k de {1,. . . ,n} − {i, j}.
Exemple :
Pour n = 5, τ 2,4 = (2,4) =
1 2 3 4 5
1 4 3 2 5
.
Remarques :
1) S n contient exactement C
2
n transpositions.
2) Toute transposition est involutive.
Théorème 1
Les transpositions de {1,. . . ,n} engendrent le groupe S n .
Autrement dit, toute permutation de {1,. . . ,n} est décomposable (d'au moins une
façon) en un produit de (plusieurs) transpositions.
Preuve :
Récurrence sur n.
S 2 = {e,τ 1,2 } et e = τ
2
1,2 , donc {τ 1,2 } engendre S 2 .
Soit n ∈ N tel que n 2 . Supposons que les transpositions de {1,. . . ,n} engendrent S n , et soit
σ ∈ S n+1 .
2
4
4
2
Rappel de définition : une permutation
d’un ensemble est une bijection de cet
ensemble sur lui-même.
Les éléments de {1,. . . ,n} sont placés
en ligne.
L’image d’un élément de {1,. . . ,n} par
σ est placé juste en dessous de cet
élément.
Exercice 2.1.1.
La transposition τ i, j échange i et j et
laisse les autres éléments inchangés.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
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Gé
ométrie Monier
τ 2,4 échange 2 et 4, et laisse 1, 3, 5,
inchangés.
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Géométrie
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Gé
ométrie Monier
Ainsi,la propriété voulue est vraie pour
n = 2 .
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Gé
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C’est-à-dire :
τ i, j ◦ τ i, j = e.
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