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CHAPITRE 2
Déterminants
Introduction
Nous généralisons ici à l’ordre n l’étude des déterminants d’ordre 2 ou 3
effectuée en 1 re année (Algèbre PCSI-PTSI, chapitre 9).
L’utilisation de la notion de déterminant permettra de décider si une matrice carrée est inversible, et amènera l’introduction du polynôme caractéristique d’une matrice carrée.
Dans ce chapitre, trois notions de déterminant vont être définies :
• déterminant d’une famille de n vecteurs dans un espace vectoriel de
dimension n
• déterminant d’un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension
finie
• déterminant d’une matrice carrée.
Prérequis
• Espaces vectoriels (Algèbre PCSI-PTSI ch. 6)
• Applications linéaires (Algèbre PCSI-PTSI ch. 7)
• Matrices (Algèbre PCSI-PTSI ch. 8).
Objectifs
• Mise en place de la notion de déterminant
• Acquisition des méthodes de calcul des déterminants
• Utilisation des déterminants : critère d’inversibilité d’une matrice carrée, rang d’une matrice rectangulaire, résolution de systèmes d’équations affines, orientation d’un espace vectoriel réel de dimension finie.
2.1 Le groupe
symétrique
36
Exercices
40
2.2 Applications
multilinéaires
41
2.3 Déterminant
d’une famille
de n vecteurs
dans une base
d’un ev
de dimension n
43
2.4 Déterminant d’un
endomorphisme
45
2.5 Déterminant d’une
matrice carrée
46
Exercices
49
2.6 Développement
par rapport
à une rangée
49
Exercices
54
2.7 Calcul
des déterminants 55
Exercices
62
2.8 Orientation d’un
espace vectoriel
réel de dimension
finie
64
2.9 Supplément : Rang
et sous-matrices
65
Exercices
67
2.10 Systèmes affines
68
Exercices
71
Plan