1.4 • Calcul matriciel
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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Les méthodes à retenir
Blocs
• Pour résoudre une question portant sur une matrice et faisant intervenir des blocs, essayer de présenter la
matrice inconnue sous forme de matrice décomposée en blocs, ces blocs étant les nouvelles inconnues (ex. 1.4.8).
Ainsi, une matrice de M 2n (K ) pourra être décomposée en quatre blocs d’ordre n. Un raisonnement par récurrence pourra demander de décomposer une matrice M n+1 (K ) en quatre blocs de types respectifs (n,n), (1,n), (n,1),
(1,1).
• Pour étudier le rang d’une matrice décomposée en blocs (ex. 1.4.10 à 1.4.12), penser à utiliser le résultat suivant de PCSI-PTSI : en notant r le rang d’une matrice A de M n, p (K ), il existe P ∈ GL n (K ) et Q ∈ GL p (K )
telles que, en notant J n, p,r =
I r 0
0 0
∈ M n, p (K ), on ait : A = PJ n, p,r Q (Algèbre PCSI-PTSI, § 8.2.3 2)
Prop. 2).
1.4.8 Soient n, p ∈ N ∗ , A ∈ GL n (K ) , B ∈ M n, p (K ),
C ∈ GL p (K ), M =
A B
0 C
.
Montrer : M ∈ GL n+ p (K ) et calculer M −1 sous forme
de décomposition en blocs.
1.4.9 Soient E , F deux K-ev de dimension finie,
n = dim (F) , p = dim (E), f ∈ L(E,F), r = rg ( f ) ,
G = {g ∈ L(F,E) ; g ◦ f = 0 et f ◦ g = 0}.
Montrer que G est un K-ev et calculer sa dimension.
1.4.10 Soient n, p ∈ N ∗ , B ∈ M n, p (K ), C ∈ M p (K ) .
Montrer : rg
I n B
0 C
= n + rg (C) .
1.4.11 Soient n, p ∈ N ∗ , A ∈ M n, p (K ), B ∈ M p,n (K ) .
a) Montrer : n + rg (I p − B A) = p + rg (I n − AB) .
(On pourra utiliser l'exercice 1.4.10).
b) En déduire :
rg (I n − AB) = n − p ⇐⇒ B A = I p .
1.4.12 Soient n, p ∈ N ∗ , A ∈ M n (K ), B ∈ M p (K ) .
Montrer :
rg
A 0
0 B
= rg (A) + rg (B).
1.4.13
Soient n, p ∈ N
∗
, A ∈ M n (K ), X ∈ M n, p (K ),
Y ∈ M p,n (K ). Montrer :
rg
A
AX
Y A Y AX
= rg (A).
1.4.14 Soient E , F deux K-ev de dimension finie,
f, g ∈ L(E,F). Montrer que les quatre propriétés suivantes sont deux à deux équivalentes :
(i) rg ( f + g) = rg ( f ) + rg (g)
(ii) Im ( f ) + Im (g) = Im ( f + g)
et Im ( f ) ∩ Im (g) = {0}
(iii) Ker ( f ) + Ker (g) = E
et Ker ( f ) ∩ Ker (g) = Ker ( f + g)
(iv) Il existe r,s ∈ N et deux bases B , C de E , F respectivement, tels que :
Mat B,C ( f ) =
I r 0 0
0 0 0
0 0 0
et Mat B,C (g) =
0 0 0
0 I s 0
0 0 0
.
Exercices
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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Les méthodes à retenir
Blocs
• Pour résoudre une question portant sur une matrice et faisant intervenir des blocs, essayer de présenter la
matrice inconnue sous forme de matrice décomposée en blocs, ces blocs étant les nouvelles inconnues (ex. 1.4.8).
Ainsi, une matrice de M 2n (K ) pourra être décomposée en quatre blocs d’ordre n. Un raisonnement par récurrence pourra demander de décomposer une matrice M n+1 (K ) en quatre blocs de types respectifs (n,n), (1,n), (n,1),
(1,1).
• Pour étudier le rang d’une matrice décomposée en blocs (ex. 1.4.10 à 1.4.12), penser à utiliser le résultat suivant de PCSI-PTSI : en notant r le rang d’une matrice A de M n, p (K ), il existe P ∈ GL n (K ) et Q ∈ GL p (K )
telles que, en notant J n, p,r =
I r 0
0 0
∈ M n, p (K ), on ait : A = PJ n, p,r Q (Algèbre PCSI-PTSI, § 8.2.3 2)
Prop. 2).
1.4.8 Soient n, p ∈ N ∗ , A ∈ GL n (K ) , B ∈ M n, p (K ),
C ∈ GL p (K ), M =
A B
0 C
.
Montrer : M ∈ GL n+ p (K ) et calculer M −1 sous forme
de décomposition en blocs.
1.4.9 Soient E , F deux K-ev de dimension finie,
n = dim (F) , p = dim (E), f ∈ L(E,F), r = rg ( f ) ,
G = {g ∈ L(F,E) ; g ◦ f = 0 et f ◦ g = 0}.
Montrer que G est un K-ev et calculer sa dimension.
1.4.10 Soient n, p ∈ N ∗ , B ∈ M n, p (K ), C ∈ M p (K ) .
Montrer : rg
I n B
0 C
= n + rg (C) .
1.4.11 Soient n, p ∈ N ∗ , A ∈ M n, p (K ), B ∈ M p,n (K ) .
a) Montrer : n + rg (I p − B A) = p + rg (I n − AB) .
(On pourra utiliser l'exercice 1.4.10).
b) En déduire :
rg (I n − AB) = n − p ⇐⇒ B A = I p .
1.4.12 Soient n, p ∈ N ∗ , A ∈ M n (K ), B ∈ M p (K ) .
Montrer :
rg
A 0
0 B
= rg (A) + rg (B).
1.4.13
Soient n, p ∈ N
∗
, A ∈ M n (K ), X ∈ M n, p (K ),
Y ∈ M p,n (K ). Montrer :
rg
A
AX
Y A Y AX
= rg (A).
1.4.14 Soient E , F deux K-ev de dimension finie,
f, g ∈ L(E,F). Montrer que les quatre propriétés suivantes sont deux à deux équivalentes :
(i) rg ( f + g) = rg ( f ) + rg (g)
(ii) Im ( f ) + Im (g) = Im ( f + g)
et Im ( f ) ∩ Im (g) = {0}
(iii) Ker ( f ) + Ker (g) = E
et Ker ( f ) ∩ Ker (g) = Ker ( f + g)
(iv) Il existe r,s ∈ N et deux bases B , C de E , F respectivement, tels que :
Mat B,C ( f ) =
I r 0 0
0 0 0
0 0 0
et Mat B,C (g) =
0 0 0
0 I s 0
0 0 0
.
Exercices