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• Montrer que, si A ∈ S , alors B ∈ S.
• En déduire que tout élément de S admet un symétrique pour
∗ dans S.
3) a) On a : x + y + z = e
2t , x + jy + j
2 z = e t u ,
x + j
2 y + jz = e t u ,
d'où f (x,y,z) = x
3
+ y
3
+ z
3
− 3xyz
= (x + y + z)(x + jy + j
2 z)(x + j
2 y + jz) = |u|
2
= 1 .
b) • Il est clair que φ est un C ∞ -difféomorphisme de R × U
dans S.
• Soit (x,y,z) ∈ S ; on a :
1 = f (x,y,z) = (x + y + z)|x + jy + j
2 z|
2 ,
d'où x + y + z > 0.
Il existe donc t ∈ R unique tel que x + y + z = e −2t .
Comme
x + jy + j 2 z = x + j
2 y + jz
|x + jy + j
2 z|
2
=
1
x + y + z
= e
2t
,
il existe u ∈ U unique tel que x + jy + j
2 z = e t u .
On a alors : x + y + z = e −2t , x + jy + j
2 z = e t u ,
x + j
2 y + jz = e t u .
Ceci montre que φ est bijective.
• On vient de voir :
t = −
1
2
ln(x + y + z)
et
Arg u = Arg
e −t (x + jy + j
2 z)
[2π].
Ceci montre que φ −1 est de classe C ∞ sur S.
• Soient (t,u), (t ,u ) ∈ R × U,
M(x,y,z) = φ(t,u), M (x ,y ,z ) = φ(t ,u ) ,
(X,Y,Z ) les coordonnées de M ∗ M . On a :

     
     
X + Y + Z = (x + y + z)(x + y + z )
= e −2t e −2t
= e −2(t+t
)
X + jY + j
2 Z = (x + jy + j
2 z)(x + jy + j
2 z )
= e t ue t
u = e t+t
uu
X + j
2 Y + jZ = X + jY + j 2 Z = e t+t
uu .
Munissons R × U de la loi-produit (de la loi + de R et de
la loi · de U) c'est-à-dire :
(t,u)(t
,u
) = (t + t
,uu
).
On a montré :
∀(t,u), (t ,u ) ∈ R × U ,
φ
(t,u)(t ,u )
= φ(t,u) ∗ φ(t ,u ) .
c) M 1 = φ
1,e
i π
3
d'où M n =
φ(1,e
i π
3 )
[n]
= φ
(1,e
i π
3 )
[n]
= φ(n,e
i nπ
3 ), d'où :
M n



1 + 2e
3n cos
nπ
3
3e 2n
,
1 + 2e
3n cos
(n − 2)π
3
3e 2n
,
1 + 2e
3n cos
(n + 2)π
3
3e 2n


 .