370
Les deux quadriques Q 1 et Q 2 admettent O pour centre de symétrie. Les matrices des formes quadratiques
associées à Q 1 et Q 2 sont
t A A et A
t A , où
A =


a
b
c
a b c
a b c

 . Comme
t A A et A
t A ont le même
polynôme caractéristique (cf. exercice 3.2.12), les deux quadriques Q 1 et Q 2 ont la même équation réduite (dans deux repères orthonormés).
• En notant m(u) (cos u, sin u, u
2
) et
−−→
G(u) (−sin u,
cos u,2u) (qui est =
− →
0 ), une RP de S est φ : (u,v)
−→ m(u) + v
−−→
G(u) , ce qui montre que S est réglée.
• Comme, pour tout (u,v) de R
2 :
− →
∂φ
∂u
(u,v) =
− −− →
m
(u) + v
− −− →
G
(u) =
−−→
G(u) + v
− −− →
G
(u),
− →
∂φ
∂v
(u,v) =
−−→
G(u),
et que (
−−→
G(u),
− −− →
G
(u)) est libre, le point M(u,v) de S est régulier si et seulement si v = 0.
En tout point M(u,v) (v = 0) de S, le plan tangent à S est dirigé par (
−−→
G(u),
− −− →
G
(u)), donc ne dépend pas de v, ce qui montre
que S est développable.
• En notant m(u) (3u,2u
2
,0) et
−−→
G(u)(1,2u,u
3
) , une RP de S
est φ : (u,v) −→ m(u) + v
−−→
G(u) , ce qui montre que S est réglée.
• On a, pour tout u de R :
det
(
− → i , − → j , − → k )
− −− →
m
(u),
−−→
G(u),
− −− →
G
(u)
=
3
1
0
4u 2u
2
0 u
3
3u
2
= 0,
et donc S est développable.
• Il est clair que : ∀u ∈ R,
− −− →
m
(u) = 3
−−→
G(u) − u
− −− →
G
(u), d'où,
avec les notations de 6.3.5 2) p. 263 :
∀u ∈ R, λ(u) = 3 et µ(u) = −u,
et l'arête de rebroussement admet pour RP
u ∈ R −→ φ
u,−µ(u)
.
Réponse : L'arête de rebroussement a pour RP :
x = 4u , y = 4u
2 , z = u
4 , u ∈ R.
a) • Puisque u,v jouent des rôles symétriques, on obtient une
autre RP de la surface S proposée en notant σ = u + v et
π = uv :
x =
π
σ
, y = σ
2
− 3σ π, z = σ
2
− 2π.
En notant m(σ )(0,σ
3
,σ
2
) et
−−→
G(σ )
1
σ
,−3σ,−2
, S admet
pour RP φ : (σ,π) −→ m(σ ) + π
−−→
G(σ ) , donc S est réglée.
En fait, la réalité de (u,v) se traduit, pour (σ,π) donné, par
σ
2
− 4π 0, donc π ne décrit qu'une demi-droite de R, et donc
S n'est qu'« à demi » réglée.
• On a, pour tout σ de R :
det
(
− → i , − → j , − → k )
− −− →
m
(σ ),
−−→
G(σ ),
− −− →
G
(σ )
=
0
1
σ
−
1
σ 2
3σ
2
−3σ
−3
2σ
−2
0
= −6 = 0,
donc S n'est pas développable.
b) • Chercher d'abord une RP de S :
x
2 z
2 = x
2 + y
2 ⇐⇒
∃u ∈ R,
x = xz cos u
y = xz sin u
⇐⇒
x = y = 0
ou
∃u ∈ D, z =
1
cos u
et y = x tan u,
où D =
−
π
2
;
π
2
∪
π
2
;
3π
2
.
Une RP de S est donc : x = v, y = v tan u , z =
1
cos u
.
En notant m(u)
0,0,
1
cos u
et
−−→
G(u)(1,tan u,0) , une RP de
S est (u,v) −→ m(u) + v
−−→
G(u) , ce qui montre que S est réglée.
• On a, pour tout (u,v) de D × R :
det
(
− → i , − → j , − → k )
− −− →
m
(u),
−−→
G(u),
− −− →
G
(u)
=
0
1
0
0
tan u
1
cos 2 u
sin u
cos 2 u
0
0
=
sin u
cos 2 u
= 0,
ce qui montre que S n'est pas développable.
Un point M(X,Y,Z ) est sur le cylindre Σ circonscrit à S dans
la direction de la droite D si et seulement si la droite D M , passant par M et parallèle à D , est tangente à S. Une RP de D M
est : x = X + λ , y = Y + λ, z = Z + λ, λ ∈ R. La droite D M
est tangente à S si et seulement si l'équation :
(X + λ)
2 + (Y + λ)
2 − (Z + λ) = 0
admet (au moins) une solution double, c'est-à-dire :
(2X + 2Y − 1)
2 − 8(X
2 + Y
2 − Z ) = 0
Réponse :
4X
2
− 8XY + 4Y
2
+ 4X + 4Y − 8Z − 1 = 0.
6.3.49
6.3.50
6.3.51
6.3.52
6.3.53