366
On trouve Ω
1
2
,1,−1
.
Une équation de S dans le repère orthonormé direct
R 1 = (Ω;
− →
i ,
− →
j ,
− →
k ) est :
X
2
+ Y
2
+ Z
2
− 2XY + 2X Z +
3
4
= 0.
La matrice Q =


1 −1 1
−1
1 0
1
0 1

 se diagonalise en
Q = P D P −1 où :
D =


1 −
√
2
0
0
0
1+
√
2 0
0
0
1


et
P =








1
√
2
−
1
√
2
0
1
2
1
2
1
√
2
−
1
2
−
1
2
1
√
2








.
Une équation de S dans le nouveau repère orthonormé
est : (1 −
√
2)ξ
2
+ (1 +
√
2)ζ
2
+ η
2
+
3
4
= 0.
Réponse :
Dans le répère orthonormé direct (Ω;
− →
I ,
− →
J ,
− →
K ) défini par
−→
OΩ =
1
2
− →
i +
− →
j −
− →
k ,
− →
I =
1
√
2
− →
i +
1
2
− →
j −
1
2
− →
k ,
− →
J = −
1
√
2
− →
i +
1
2
− →
j −
1
2
− →
k ,
− →
K =
1
√
2
− →
j +
1
√
2
− →
k , la
quadrique S admet l'équation réduite
ξ
2
a 2 −
ζ
2
b 2 −
η
2
c 2 = 1 , où a =
√
3
√
2 + 1
2
,
b =
√
3
√
2 − 1
2
,
c =
√
3
2
;
S est un hyperboloïde à deux nappes.
b) On a : χ Q (λ) = −λ(λ + 9)(λ − 18) ; Q se diagonalise en
Q = P D P −1 , où :
D =


0
0
0
0 −9
0
0
0 18

 , P =
1
3


−2
1 2
2
2 1
1 −2 2

 .
En notant
− →
I =
1
3
(−2
− →
i + 2
− →
j +
− →
k ) ,
− →
J =
1
3
(
− →
i + 2
− →
j − 2
− →
k ) ,
− →
K =
1
3
(2
− →
i +
− →
j + 2
− →
k ) ,
une équation de S dans le r.o.n.d. R 1 = (O;
− →
I ,
− →
J ,
− →
K )
est :
−Y
2
+ 2Z
2
+ 4X + 12Y − 8Z + 4 = 0 ,
ou encore : (Y − 6)
2
− 2(Z − 2)
2
− 4(X + 8) = 0 .
En notant Ω le point de coordonnées (−8,6,2) relativement à
R 1 , une équation de S dans le r.o.n.d. R 2 = (Ω;
− →
I ,
− →
J ,
− →
K )
est : ζ
2
− 2η
2
− 4ξ = 0 .
Réponse :
Dans le repère orthonormé direct (Ω;
− →
I ,
− →
J ,
− →
K ) défini
par Ω
26
3
,−
2
3
,−
16
3
,
− →
I =
1
3
(−2
− →
i + 2
− →
j +
− →
k ) ,
− →
J =
1
3
(
− →
i + 2
− →
j − 2
− →
k ) ,
− →
K =
1
3
(2
− →
i +
− →
j + 2
− →
k ) ,
la quadrique S admet l'équation réduite ζ
2
− 2η
2
− 4ξ = 0 ;
S est un paraboloïde hyperbolique.
c) Remarquer
x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2xy − 1 = (x + y)
2
+ z
2
− 1.
Réponse :
Dans le repère orthonormé direct (O;
− →
I ,
− →
J ,
− →
K ) défini par
− →
I =
1
√
2
(
− →
i −
− →
j ) ,
− →
J =
1
√
2
(
− →
i +
− →
j ) ,
− →
K =
− →
k , la
quadrique S admet l'équation réduire : 2Y
2
+ Z
2
= 1 ; S est
un cylindre elliptique.
d) Une équation de S dans R est :
(x − 2)
2
+ 5
−
3
5
y +
4
5
z
− 2 = 0.
Par le changement
X = x − 2, Y = −
3
5
y +
4
5
z, Z = −
4
5
y −
3
5
z ,
l'équation de S devient X
2
+ 5Y − 2 = 0 , ou encore
X
2
= −5Y , où Y = Y −
2
5
.
Réponse :
Dans le repère orthonormé direct (S;
− →
I ,
− →
J ,
− →
K ) défini par
− →
O S = 2
− →
i +
2
5
− →
j ,
− →
I =
− →
i ,
− →
J =
1
5
(−3
− →
j + 4
− →
k ) ,
− →
K = −
1
5
(4
− →
j + 3
− →
k ) , la quadrique S admet l'équation réduite X
2
= −5Y ; S est un cylindre parabolique.
Remarquer, pour tout (x,y,z) de R
3 :
(b
2
+ c
2
)x
2
+ (c
2
+ a
2
)y
2
+ (a
2
+ b
2
)z
2
−2abx y − 2bcyz − 2cazx
= (bz − cy)
2
+ (cx − az)
2
+ (ay − bx)
2
et a(bz − cy) + b(cx − az) + c(ay − bx) = 0 .
Réponse : S est un cylindre elliptique.
La quadrique S est de révolution si et seulement s'il existe un
r.o.n.d. R de E 3 tel que S admette sans R une EC de la forme :
λ(X
2 + Y
2 ) + µZ
2 + 2I Z + J = 0,
où λ ∈ R ∗ , µ,I,J ∈ R , c'est-à-dire si et seulement s'il existe
(λ,µ) ∈ R ∗ × R tel que Q soit semblable à diag(λ,λ,µ).
6.3.34
6.3.33