S admet pour directrice le cercle d'équations
x + y + z = 1
x
2
+ y
2
+ z
2
= 1
.
Réponse : xy + xz + yz = 0.
Remarquer que l'équation proposée est symétrique en x,y,z.
Noter σ 1 ,σ 2 ,σ 3 les fonctions symétriques élémentaires de
x,y,z, et, pour k ∈ N ∗ , S k = x k + y k + z k . Montrer que l'équation de S est de la forme F(σ 1 ,S 2 ) = 0.
Prouver S 4 = S
2
2 + 4σ 1 σ 3 − 2σ
2
2 ; d'où l'équation de S sous la
forme :
S
2
2 −
1
2
(σ
2
1 − S 2 )
2 − 1 = 0.
Réponse : S est une surface de révolution, d'axe
O + R(
− →
i +
− →
j +
− →
k ) .
a) La courbe Γ est incluse dans le plan P d'EC :
2x − y − 5z = 0.
Un changement de r.o.n.d., en prenant P pour 1
er plan de coordonnées, montre que Γ est une parabole.
Une RP de Γ est : x = t
2
+ 2t, y = 2t
2
− t, z = t, t ∈ R ,
c'est-à-dire :
− − →
O M = t − → u + t
2− → v ,
où − → u (2,−1,1) et − → v (1,2,0) .
On a, pour tout t de R ∗ :
1
t 2
− − →
O M =
1
t
− → u + − → v , donc la direction de (O M) tend vers celle de − → v quand t tend vers ±∞.
Il en résulte que l'axe de Γ est dirigé par − → v .
Le sommet de Γ est le point de Γ en lequel la tangente à Γ est
orthogonale à l'axe. La tangente à Γ en un point quelconque
M(t) est dirigée par
− →
dM
dt
, c'est-à-dire − → u + 2t − → v . On a :
− →
dM
dt
⊥ − → v ⇐⇒ ( − → u + 2t − → v ) · − → v ⇐⇒ t = 0,
puisque − → u · − → v = 0.
Ainsi, le sommet de Γ est O .
Réponse : Γ est une parabole, de sommet O et d'axe la droite
passant par O et dirigée par
− →
i + 2
− →
j .
b) L'équation cartésienne générale d'un cercle C λ,µ d'axe l'axe
de Γ est :
x + 2y = λ
x
2
+ y
2
+ z
2
= µ
2 , (λ,µ) ∈ R
2 .
On a :
C λ,µ ∩ Γ = ∅
⇐⇒
∃z ∈ R,
5z
2
= λ
(z
2
+ 2z)
2
+ (2z
2
− z)
2
+ z
2
= µ
2
⇐⇒
∃z ∈ R,
5z
2
= λ
5z
4
+ 6z
2
= µ
2
⇐⇒ λ
2 + 6λ − 5µ
2 = 0.
365
Ensuite, pour tout point M(x,y,z) de E 3 :
M ∈ S ⇐⇒
∃(λ,µ) ∈ R
2 , M ∈ C λ,µ
⇐⇒
∃(λ,µ) ∈ R
2 ,
x + 2y = λ
x
2
+ y
2
+ z
2
= µ
2
λ
2
+ 6λ − 5µ
2
= 0
⇐⇒ (x + 2y)
2 + 6(x + 2y) − 5(x
2 + y
2 + z
2 ) = 0.
Réponse : 4x
2
+ 4xy + y
2
+ 5z
2
− 6x − 12y = 0 .
En notant V le volume demandé, on a, par symétries, V = 2
4 V 1 ,
où V 1 =
D 1
dx dy dz et
D 1 =
(x,y,z) ∈ (R + )
3
;
x
2
+ y
2
R
2
, x
2
+ z
2
R
2
, y
2
+ z
2
R
2
, y x
.
En passant en coordonnées cylindriques, on obtient
V 1 =
∆ 1
ρ dρ dθ dz, où :
∆ 1 =
(ρ,θ,z) ∈ [0; R] ×
0;
π
4
× R + ;
0 z
R 2 − ρ 2 cos 2 θ
.
D’où :
V 1 =
π
4
0
R
0
√
R 2 −ρ 2 cos 2 θ
0
dz
ρ dρ
dθ
=
π
4
0
R
0
R 2 − ρ 2 cos 2 θ ρ dρ
dθ
=
π
4
0
−
1
3 cos 2 θ
(R
2 − ρ
2 cos
2 θ)
3
2
R
0
dθ
=
R
3
3
π
4
0
1 − sin
3
θ
cos 2 θ
dθ
=
[u=cosθ ]
R
3
3
[tanθ]
π
4
0 +
1
√
2
1
1 − u
2
u 2 du
=
R
3
3
1 +
1
u
+ u
1
1
√
2
=
√
2 − 1
√
2
R
3 .
Réponse : V = 8(2 −
√
2)R
3
4,686 R
3 .
Notons Q la matrice, dans la base canonique de R
3 , de la forme
quadratique définie par la partie homogène de degré 2 de l'équation, et χ Q le polynôme caractéristique de Q .
a) Comme χ Q (λ) = −(λ − 1)(λ
2
− 2λ − 1) , 0 ∈ Sp R (Q)
donc S est une quadrique à centre.
Le centre Ω est obtenu en résolvant le système d'équations :
∂ F
∂ x
(x,y,z) =
∂ F
∂ y
(x,y,z) =
∂ F
∂z
(x,y,z) = 0,
où F(x,y,z) est le premier membre de l'équation cartésienne
donnée pour S.
6.3.28
6.3.29
6.3.30
6.3.31
6.3.32
x + y + z = 1
x
2
+ y
2
+ z
2
= 1
.
Réponse : xy + xz + yz = 0.
Remarquer que l'équation proposée est symétrique en x,y,z.
Noter σ 1 ,σ 2 ,σ 3 les fonctions symétriques élémentaires de
x,y,z, et, pour k ∈ N ∗ , S k = x k + y k + z k . Montrer que l'équation de S est de la forme F(σ 1 ,S 2 ) = 0.
Prouver S 4 = S
2
2 + 4σ 1 σ 3 − 2σ
2
2 ; d'où l'équation de S sous la
forme :
S
2
2 −
1
2
(σ
2
1 − S 2 )
2 − 1 = 0.
Réponse : S est une surface de révolution, d'axe
O + R(
− →
i +
− →
j +
− →
k ) .
a) La courbe Γ est incluse dans le plan P d'EC :
2x − y − 5z = 0.
Un changement de r.o.n.d., en prenant P pour 1
er plan de coordonnées, montre que Γ est une parabole.
Une RP de Γ est : x = t
2
+ 2t, y = 2t
2
− t, z = t, t ∈ R ,
c'est-à-dire :
− − →
O M = t − → u + t
2− → v ,
où − → u (2,−1,1) et − → v (1,2,0) .
On a, pour tout t de R ∗ :
1
t 2
− − →
O M =
1
t
− → u + − → v , donc la direction de (O M) tend vers celle de − → v quand t tend vers ±∞.
Il en résulte que l'axe de Γ est dirigé par − → v .
Le sommet de Γ est le point de Γ en lequel la tangente à Γ est
orthogonale à l'axe. La tangente à Γ en un point quelconque
M(t) est dirigée par
− →
dM
dt
, c'est-à-dire − → u + 2t − → v . On a :
− →
dM
dt
⊥ − → v ⇐⇒ ( − → u + 2t − → v ) · − → v ⇐⇒ t = 0,
puisque − → u · − → v = 0.
Ainsi, le sommet de Γ est O .
Réponse : Γ est une parabole, de sommet O et d'axe la droite
passant par O et dirigée par
− →
i + 2
− →
j .
b) L'équation cartésienne générale d'un cercle C λ,µ d'axe l'axe
de Γ est :
x + 2y = λ
x
2
+ y
2
+ z
2
= µ
2 , (λ,µ) ∈ R
2 .
On a :
C λ,µ ∩ Γ = ∅
⇐⇒
∃z ∈ R,
5z
2
= λ
(z
2
+ 2z)
2
+ (2z
2
− z)
2
+ z
2
= µ
2
⇐⇒
∃z ∈ R,
5z
2
= λ
5z
4
+ 6z
2
= µ
2
⇐⇒ λ
2 + 6λ − 5µ
2 = 0.
365
Ensuite, pour tout point M(x,y,z) de E 3 :
M ∈ S ⇐⇒
∃(λ,µ) ∈ R
2 , M ∈ C λ,µ
⇐⇒
∃(λ,µ) ∈ R
2 ,
x + 2y = λ
x
2
+ y
2
+ z
2
= µ
2
λ
2
+ 6λ − 5µ
2
= 0
⇐⇒ (x + 2y)
2 + 6(x + 2y) − 5(x
2 + y
2 + z
2 ) = 0.
Réponse : 4x
2
+ 4xy + y
2
+ 5z
2
− 6x − 12y = 0 .
En notant V le volume demandé, on a, par symétries, V = 2
4 V 1 ,
où V 1 =
D 1
dx dy dz et
D 1 =
(x,y,z) ∈ (R + )
3
;
x
2
+ y
2
R
2
, x
2
+ z
2
R
2
, y
2
+ z
2
R
2
, y x
.
En passant en coordonnées cylindriques, on obtient
V 1 =
∆ 1
ρ dρ dθ dz, où :
∆ 1 =
(ρ,θ,z) ∈ [0; R] ×
0;
π
4
× R + ;
0 z
R 2 − ρ 2 cos 2 θ
.
D’où :
V 1 =
π
4
0
R
0
√
R 2 −ρ 2 cos 2 θ
0
dz
ρ dρ
dθ
=
π
4
0
R
0
R 2 − ρ 2 cos 2 θ ρ dρ
dθ
=
π
4
0
−
1
3 cos 2 θ
(R
2 − ρ
2 cos
2 θ)
3
2
R
0
dθ
=
R
3
3
π
4
0
1 − sin
3
θ
cos 2 θ
dθ
=
[u=cosθ ]
R
3
3
[tanθ]
π
4
0 +
1
√
2
1
1 − u
2
u 2 du
=
R
3
3
1 +
1
u
+ u
1
1
√
2
=
√
2 − 1
√
2
R
3 .
Réponse : V = 8(2 −
√
2)R
3
4,686 R
3 .
Notons Q la matrice, dans la base canonique de R
3 , de la forme
quadratique définie par la partie homogène de degré 2 de l'équation, et χ Q le polynôme caractéristique de Q .
a) Comme χ Q (λ) = −(λ − 1)(λ
2
− 2λ − 1) , 0 ∈ Sp R (Q)
donc S est une quadrique à centre.
Le centre Ω est obtenu en résolvant le système d'équations :
∂ F
∂ x
(x,y,z) =
∂ F
∂ y
(x,y,z) =
∂ F
∂z
(x,y,z) = 0,
où F(x,y,z) est le premier membre de l'équation cartésienne
donnée pour S.
6.3.28
6.3.29
6.3.30
6.3.31
6.3.32