350
• ϕ est linéaire par rapport à la deuxième place :
ϕ(P,α Q + R) =
n
k=0
P(a k )(α Q + R)(a k )
= α
n
k=0
P(a k )Q(a k ) +
n
k=0
P(a k )R(a k )
= αϕ(P,Q) + ϕ(P,R).
• La forme hermitienne φ associée à ϕ est positive :
φ(P) =
n
k=0
P(a k )P(a k ) =
n
k=0
|P(a k )| 2 0.
• φ est définie, car, si φ(P) = 0, alors
∀k ∈ {0,. . . ,n} P(a k ) = 0,
donc le polynôme P, de degré n, s'annule en n + 1 points
deux à deux distincts, d'où P = 0.
On conclut que ϕ est un produit scalaire.
b) Considérons les polynômes d'interpolation de Lagrange sur
les abscisses a 0 ,. . . ,a n (cf. 1.3.3 2) p. 18) :
∀ p ∈ {0,. . . ,n}, L p =
q = p
(X − a q )
q = p
(a p − a q )
.
On a :
• ∀ p ∈ {0,. . . ,p}, L p ∈ E
• ∀( p,q) ∈ E 2 ,
ϕ(L p ,L q ) =
n
k=0
L p (a k )L q (a k )
=
n
k=0
L p (a k )δ p,q
= L p (a q ) = δ p,q = δ p,q ,
et on conclut que (L p ) 0pn est une b.o.n. de E.
Réponse : Une base orthonormale de E est la famille des polynômes d'interpolation de Lagrange sur les abscisses
a 0 ,. . . ,a n .
• Soit (α 1 ,. . . ,α n ) ∈ C n tel que :
n
k=1
α k v k = 0.
On a, pour tout p ∈ {1,. . . ,n} :
0 =
n
k=1
α k v k
e p
=
n
k=1
α k (v k | e p )
=
n
k=1
α k (u k + e k | e p ) =
n
k=1
α k (u k | e p )
+ α p ,
d'où :
α p = −
n
k=1
α k (u k | e p ).
D'après l'inégalité de Cauchy et Schwarz et l'inégalité triangulaire, on a alors :
|α p | =
n
k=1
α k (u k | e p )
n
k=1
|α k | |(u k | e p )|
n
k=1
|α k | ||u k || ||e p || =
n
k=1
|α k | ||u k ||.
Il existe q ∈ {1,. . . ,n} tel que |α q | = Max
1kn
|α k |.
On a alors :
|α q |
n
k=1
|α k | ||u k || |α q |
n
k=1
||u k ||,
c'est-à-dire :
|α q |
1 −
n
k=1
||u k ||
0.
Comme
n
k=1
||u k || < 1, il en résulte |α q | = 0, puis, par définition de q, ∀ p ∈ {1,. . . ,n}, α p = 0, ce qui établit que la famille (v 1 ,. . . ,v n ) est libre.
• Puisque (v 1 ,. . . ,v n ) est libre et que dim (E) = n, on conclut
que (v 1 ,...,v n ) est une base de E.
5.2.16
Chapitre 6
6.1.1
a) Une représentation paramétrique de l'enveloppe est :
x =
1 − t
2
1 + t 2 , y =
2t
1 + t 2 ;
la reconnaître en notant θ = Arctan t .
Réponse : Le cercle de centre O et de rayon 1.
b) Simplifier l'équation de D t par le changement de
variable u = ch 2t . Une représentation paramétrique de l'enveloppe est :
x = 2u − u
2
, y = 2u + u
2
, u ∈ [1; +∞[.
Réponse : Le morceau de parabole défini par :
(x + y)
2
+ 8(x − y) = 0 et x + y − 2 0 .
y
x
O
8
3
4
5
4
c) Réponse : Une représentation paramétrique de l'enveloppe
est :
x =
t
3
t − 1
, y =
t
2
t − 1
, t ∈ R − {1} .