326
2) Soient S ∈ S n (R), A ∈ A n (R). On a :
< S,A > = tr( t S A) = tr ( t ( t S A)) = tr ( t AS) = tr (−AS)
= −tr (A t S) = − < S,A > ,
d’où : < S,A > = 0
Ceci montre :
S n (R) ⊂
A n (R)
⊥ et A n (R) ⊂
S n (R)
⊥ .
De plus, dim
(A n (R)) ⊥ = n 2 − dim
A n (R)
= n 2 −
n(n − 1)
2
=
n(n + 1)
2
= dim
S n (R)
.
Réponse :
•
D n (R)
⊥
=
A = (a i j ) i j ∈ M n (R); ∀i ∈ {1,. . . ,n}, a ii = 0
•
S n (R)
⊥ = A n (R) ,
A n (R)
⊥ = S n (R) .
1) Supposons X vecteur propre de t A : il existe λ ∈ R tel que
t AX = λX .
On a :
∀Y ∈ H , t X (AY ) = t ( t AX)Y = t (λX)Y = λ t XY = 0 ,
donc : ∀Y ∈ H , AY ∈ H.
2) Réciproquement, supposons H stable par A.
On a alors :
∀Y ∈ M n,1 (R), (Y ∈ H ⇒ AY ∈ H ⇒ t X AY = 0
⇒ t ( t AX)Y = 0),
c’est-à-dire : H = X ⊥ ⊂ ( t AX) ⊥ .
En passant aux orthogonaux :
Vect(X) = X ⊥⊥ ⊃ ( t AX) ⊥⊥ = Vect( t AX).
Ainsi, t AX ∈ RX, donc X est − →
vp de t A.
((i) et (ii)) ⇒ (iii) : évident.
((i) et (iii)) ⇒ (ii) : évident.
((ii) et (iii)) ⇒ (i) : A = t A A = t ( t A A) = t A
(iii) ne sert pas).
• On a :
t V AU = t V (AU ) = t V (λU ) = λ t V U
t V AU = t V t AU = t (AV )U = t (µV )U = µ t V U,
d’où, puisque λ = µ : t V U = 0.
• (U t V ) 2 = U ( t V U) t V = 0 .
a) Notons V =
1
1
∈ M n,1 (R).
•
t V AV = t V ( t A A)V = ||AV || 2 0,
t V AV =
1 i, j n
a i j
,
d’où
1 i, j n
a i j 0 .
• Soit B = I n − A.
Comme t B = B et B 2 = I n − 2A + A 2 = I n − A = B, on
peut appliquer le résultat précédent à B au lieu de A, d’où :
n −
1 i, j n
a i j 0 .
b) Notons A = (|a i j |) i, j
et U =
1
1
1
1
1
∈ M n (R) .
L’inégalité de Cauchy-Schwarz : (A |U ) 2 ||A || 2 ||U || 2
donne :
1 i, j n
|a i j |
2
1 i, j n
a 2
i j
1 i, j n
1 2
.
Mais :
1 i, j n
a 2
i j = tr ( t A A) = tr(A) et, puisque A est une
matrice de projection : tr (A) = rg (A). (En effet, puisque A
annule X(X − 1) , A est diagonalisable, cf. 3.5.2 Exemple 1)
p. 112, et A ∼
I r 0
0 0
, où r = rg (A)).
Ainsi :
1 i, j n
|a i j |
2 n 2 rg (A) .
c) • D’après b) et rg (A) n :
1 i, j n
|a i j |
n 3/2 .
• Si
1 i, j n
|a i j | = n 3/2 , alors rg (A) = n,
donc A ∈ GL n (R), puis A = I n (puisque A 2 = A).
Mais alors
1 i, j n
|a i j | = n < n 3/2 , contradiction.
• Supposons n 3 , et M = (m i j ) i j ∈ M n (R) telle que :
∀A ∈ A n (R), AM = M A.
Soit (i, j) ∈ {1,. . . ,n} 2 tel que i = j ; il existe k ∈ {1,. . . ,n}
tel que i, j,k soient deux à deux distincts.
Comme E jk − E k j ∈ A n (R) , on a :
(E jk − E k j )M = M(E jk − E k j ) ,
d’où, en prenant les (i,k) èmes termes : 0 = −m i j .
Montrer de même : m ii = m j j .
Réciproque immédiate.
• Traiter séparément le cas n = 2.
Réponse : Le commutant de A n (R)dans M n (R) est :
R I n
si n = 2
a b
−b a
; (a,b) ∈ R 2
si n = 2 .
4.2.15
4.3.2
4.3.3
4.3.1
4.3.4
2) Soient S ∈ S n (R), A ∈ A n (R). On a :
< S,A > = tr( t S A) = tr ( t ( t S A)) = tr ( t AS) = tr (−AS)
= −tr (A t S) = − < S,A > ,
d’où : < S,A > = 0
Ceci montre :
S n (R) ⊂
A n (R)
⊥ et A n (R) ⊂
S n (R)
⊥ .
De plus, dim
(A n (R)) ⊥ = n 2 − dim
A n (R)
= n 2 −
n(n − 1)
2
=
n(n + 1)
2
= dim
S n (R)
.
Réponse :
•
D n (R)
⊥
=
A = (a i j ) i j ∈ M n (R); ∀i ∈ {1,. . . ,n}, a ii = 0
•
S n (R)
⊥ = A n (R) ,
A n (R)
⊥ = S n (R) .
1) Supposons X vecteur propre de t A : il existe λ ∈ R tel que
t AX = λX .
On a :
∀Y ∈ H , t X (AY ) = t ( t AX)Y = t (λX)Y = λ t XY = 0 ,
donc : ∀Y ∈ H , AY ∈ H.
2) Réciproquement, supposons H stable par A.
On a alors :
∀Y ∈ M n,1 (R), (Y ∈ H ⇒ AY ∈ H ⇒ t X AY = 0
⇒ t ( t AX)Y = 0),
c’est-à-dire : H = X ⊥ ⊂ ( t AX) ⊥ .
En passant aux orthogonaux :
Vect(X) = X ⊥⊥ ⊃ ( t AX) ⊥⊥ = Vect( t AX).
Ainsi, t AX ∈ RX, donc X est − →
vp de t A.
((i) et (ii)) ⇒ (iii) : évident.
((i) et (iii)) ⇒ (ii) : évident.
((ii) et (iii)) ⇒ (i) : A = t A A = t ( t A A) = t A
(iii) ne sert pas).
• On a :
t V AU = t V (AU ) = t V (λU ) = λ t V U
t V AU = t V t AU = t (AV )U = t (µV )U = µ t V U,
d’où, puisque λ = µ : t V U = 0.
• (U t V ) 2 = U ( t V U) t V = 0 .
a) Notons V =
1
1
∈ M n,1 (R).
•
t V AV = t V ( t A A)V = ||AV || 2 0,
t V AV =
1 i, j n
a i j
,
d’où
1 i, j n
a i j 0 .
• Soit B = I n − A.
Comme t B = B et B 2 = I n − 2A + A 2 = I n − A = B, on
peut appliquer le résultat précédent à B au lieu de A, d’où :
n −
1 i, j n
a i j 0 .
b) Notons A = (|a i j |) i, j
et U =
1
1
1
1
1
∈ M n (R) .
L’inégalité de Cauchy-Schwarz : (A |U ) 2 ||A || 2 ||U || 2
donne :
1 i, j n
|a i j |
2
1 i, j n
a 2
i j
1 i, j n
1 2
.
Mais :
1 i, j n
a 2
i j = tr ( t A A) = tr(A) et, puisque A est une
matrice de projection : tr (A) = rg (A). (En effet, puisque A
annule X(X − 1) , A est diagonalisable, cf. 3.5.2 Exemple 1)
p. 112, et A ∼
I r 0
0 0
, où r = rg (A)).
Ainsi :
1 i, j n
|a i j |
2 n 2 rg (A) .
c) • D’après b) et rg (A) n :
1 i, j n
|a i j |
n 3/2 .
• Si
1 i, j n
|a i j | = n 3/2 , alors rg (A) = n,
donc A ∈ GL n (R), puis A = I n (puisque A 2 = A).
Mais alors
1 i, j n
|a i j | = n < n 3/2 , contradiction.
• Supposons n 3 , et M = (m i j ) i j ∈ M n (R) telle que :
∀A ∈ A n (R), AM = M A.
Soit (i, j) ∈ {1,. . . ,n} 2 tel que i = j ; il existe k ∈ {1,. . . ,n}
tel que i, j,k soient deux à deux distincts.
Comme E jk − E k j ∈ A n (R) , on a :
(E jk − E k j )M = M(E jk − E k j ) ,
d’où, en prenant les (i,k) èmes termes : 0 = −m i j .
Montrer de même : m ii = m j j .
Réciproque immédiate.
• Traiter séparément le cas n = 2.
Réponse : Le commutant de A n (R)dans M n (R) est :
R I n
si n = 2
a b
−b a
; (a,b) ∈ R 2
si n = 2 .
4.2.15
4.3.2
4.3.3
4.3.1
4.3.4