1) Si λ = 0 , alors X ∈ Vect(U,V ) , X = αU + βV ,
(α,β) ∈ R 2 . On a :
AX = λX ⇐⇒
α t V U + β t V V = λα
α t UU + β t U V = λβ
.
Le déterminant ∆ de ce système (d’inconnue (α,β)) est :
∆ =
t V U − λ
t V V
t UU
t U V − λ
= (λ − t U V ) 2 − ( t UU)( t V V ),
et, en notant < ·,· > le produit scalaire canonique sur M n,1 (R)
et || · || la norme euclidienne associée :
∆ = 0 ⇐⇒ λ = < U,V > ±||U || ||V || .
Remarquer que
< U,V > −||U || ||V || et < U,V > +||U || ||V ||
sont différents et non nuls (cf. étude du cas d’égalité dans l’inégalité de Cauchy-Schwarz, 4.2.1 Prop. 1 p. 138).
2) AX = 0 ⇐⇒ t V X = t U X = 0 , donc Ker (A) est de
dimension n − 2 (c’est (Vect(U,V )) ⊥ , cf. plus loin 4.2.2
Prop. 1 4) p. 142).
Réponse :
• Sp R (A)
=
< U,V > +||U || ||V ||, < U,V > −||U || ||V ||, 0
• SEP(A, < U,V > +ε||U || ||V ||)
= Vect(||V ||U + ε||U ||V ) , ε ∈ {−1,1}
• SEP(A,0) =
Vect(U,V )
⊥
,
où < U,V > = t U V , ||U || = ( t UU)
1
2 , ||V || = ( t V V )
1
2 ,
(U,V ) étant un couple de
M n,1 (R)
2 tel que H = U t V.
b) Comme H admet trois vp distinctes dont les SEP associés
sont de dimensions respectives 1, 1, n − 2, on conclut que A
est diagonalisable.
D’ailleurs, A ∈ S n (R), donc A est diagonalisable (cf. plus loin
4.5.1 Th. p. 164).
Réponse : oui.
a) || t AV || 2 = t ( t AV ) t AV = t V A t AV = < V,A t AV >
||V || ||A( t AV )|| ||V || || t AV || ,
d’où : || t AV || = 0 ou || t AV || ||V ||.
b) • Soit V ∈ M n,1 (R) tel que AV = V. On a :
|| t AV − V || 2 = t V A t AV − t V AV − t V t AV + t V V
= || t AV || 2 − t V V − t V V + t V V
= || t AV || 2 − ||V || 2 0,
d’où t AV = V.
325
• D’après a), on peut remplacer A par t A, donc :
t AV = V ⇒ AV = V .
c) Soit X ∈ Ker (A − I n ) ∩ Im(A − I n ). Alors AX = X, et il
existe Y ∈ M n,1 (R) tel que X = AY − Y . D’après b),
t AX = X .
On a : X = t AX = t A(AY − Y ) = t A AY − AY ,
d’où : t A AY = AY + t AY − Y , puis :
t X X = ( t Y t A − t Y )(AY − Y )
= t Y ( t A AY − t AY − AY + Y ) = 0,
donc X = 0.
Ceci montre : Ker (A − I n ) ∩ Im(A − I n ) = {0} .
• D’après le théorème du rang :
dim (Ker (A − I n )) + dim (Im(A − I n )) = n,
d’où finalement :
M n,1 (R) = Ker (A − I n ) ⊕ Im(A − I n ) .
⇒ : évident.
⇐⇐ :
Supposons : ∀y ∈ F, (x|y) ||y|| 2 .
Soit y ∈ F ; on a : ∀λ ∈ R, (x|λy) ||λy|| 2 , d’où :
∀λ ∈ R ∗
+ , (x|y) λ||y|| 2
∀λ ∈ R ∗
− , (x|y) λ||y|| 2
.
En faisant tendre λ vers 0 + , 0 − , on déduit : (x|y) = 0.
L’eve (E,ϕ) admet au moins une b.o.n. B = (e 1 ,. . . ,e n ) ; notons, pour 1 i n, α i = ψ(e i ,e i ) .
Soit (i, j) ∈ {1,. . . ,n} 2 tel que i = j.
On a ϕ(e i ,e j ) = 0 , donc (hypothèse) ψ(e i ,e j ) = 0.
De même, ϕ(e i + e j ,e i − e j ) = ϕ(e i ,e i ) − ϕ(e j ,e j ) = 0 ,
donc ψ(e i + e j ,e i − e j ) = 0 ,
c’est-à-dire ψ(e i ,e i ) = ψ(e j ,e j ).
Ainsi, α 1 = . . . = α n , noté α .
On a donc : ∀(i, j) ∈ {1,. . . ,n} 2 , ψ(e i ,e j ) = αϕ(e i ,e j ),
d’où par bilinéarité de ϕ et ψ :
∀(x,y) ∈ E
2 , ψ(x,y) = αϕ(x,y).
Enfin, α = ψ(e 1 ,e 1 ) > 0 .
1) A = (a i j ) i j ∈
D n (R)
⊥
⇐⇒
∀(λ 1 ,. . . ,λ n ) ∈ R n , tr( t A diag(λ 1 ,. . . ,λ n )) = 0
⇐⇒
∀(λ 1 ,. . . ,λ n ) ∈ R
n ,
n
i=1
a ii λ i = 0
⇐⇒
∀i ∈ {1,. . . ,n}, a ii = 0
.
4.2.12
4.2.13
4.2.14
4.2.11