Comme A + t A ∈ S n (R) , on déduit de b) : A + t A = 0 ,
c’est-à-dire A ∈ A n (R).
a) 1) • Réflexivité : ∀A ∈ M n (R), A C A , en choisissant
P = I n .
• Symétrie : Soit (A,B) ∈ (M n (R)) 2 tel qu’il existe
P ∈ GL n (R) tel que B = t P AP.
On a alors A = ( t P) −1 B P −1 = t (P −1 )B P −1 , donc B C A.
• Transitivité : Soit (A,B,C) ∈
M n (R)
3 tel que A C B et
B C C . Il existe P,Q ∈ GL n (R) telles que : B = t P AP et
C = t Q B Q . On a alors :
C = t Q( t P AP)Q = t (P Q)A(P Q)
et P Q ∈ GL n (R), donc A C C.
Ainsi : C est une relation d’équivalence dans M n (R).
2) • Le lien entre équivalence et similitude a déjà été examiné
(cf. Algèbre PCSI-PTSI, 8.2.4 Rem. 1)) ; on a :
∀A,B ∈ M n (R), (A ∼ B ⇒ A eq B),
mais la réciproque est fausse.
• Soient A,B ∈ M n (R) telles que A C B ; il existe
P ∈ GL n (R) telle que : B = t P AP.
Alors : rg (B) = rg (A) , donc A eq B.
• Il est clair que, si B = t P AP
alors det(B) = (det(P)) 2 det(A) ,
donc sgn (det(B)) = sgn (det(A)) .
En prenant n = 1, A = (1), B = (−1) , il est clair que :
A ∼ B et A C / B.
• En prenant n = 1, A = (1), B = (4), on a A C B (choisir
P = (2)) ; on a alors B = t P AP et A ∼ B.
Réponse :
• similitude ⇒ équivalence
• congruence ⇒ équivalence
• il n’y a pas d’autre lien logique.
b) 1) Exemple : n = 1, α = 1 , A = (1), B = (4), A = (−9) ,
B = (−1).
On a ici : A C B , A C B , mais α A + A C / αB + B .
Réponse : non.
2) Si B = t P AP, alors t B = t P t AP.
c) • Si B = t P AP,
alors t M B M = t M t P AP M = t (P M)A(P M)
et P M ∈ GL n (R) .
• Exemple où M ∈ GL n (R) :
A =
1 0
0 0
, B =
0 0
0 1
, M =
1 1
0 0
.
323
On a ici :
A C B (choisir P =
0 1
1 0
), t M AM C / t M B M
(car t M AM =
1 1
1 1
et t M B M = 0 ).
Réponse : non.
d) S’il existe P ∈ GL p (R) , Q ∈ GL q (R) telles que
A = t P AP et B = t Q B Q, alors, en notant R =
P 0
0 Q
,
on a R ∈ GL p+q (R) et :
B 0
0 B
= t R
A 0
0 A
R .
e) La propriété résulte trivialement de la formule de changement de base pour les fbs (4.1.2 4) Prop. 4 p. 118).
1) Supposons que ψ soit un produit scalaire sur E . Comme
E = {0} , il existe x 0 ∈ E − {0}, et on a ϕ(x 0 ,x 0 ) > 0. Alors :
0 = ψ(x 0 ,0) = aϕ(x 0 ,x 0 ),
0 = ψ(0,x 0 ) = cϕ(x 0 ,x 0 ),
0 < ψ(x 0 ,x 0 ) = bϕ(x 0 ,x 0 ),
d’où : a = c = 0, b > 0 .
2) Réciproque évidente.
Réponse : a = c = 0 et b > 0 .
Appliquer l’inégalité de Cauchy-Schwarz à AX, BY dans
M n,1 (R) muni de son produit scalaire canonique.
Comme (X,Y ) −→ tr( t XY ) est un produit scalaire sur
M p,n (R) (cf. 4.2.1 Exemple 2) p. 138) :
t A A = 0 ⇒ tr ( t A A) = 0 ⇒ A = 0.
En notant M = B − C et en utilisant l’ex. 4.2.3 :
B A t A = C A t A ⇐⇒ M A t A = 0 ⇒ M A t A t M = 0
⇐⇒ t ( t A t M)( t A t M) = 0 ⇒ t A t M = 0
⇒ t (M A) = t A t M = 0 ⇒ M A = 0.
1) • Puisque, pour tout X de M n,1 (R) :
AX = 0 ⇒ ( t A A)X = t A(AX) = 0 ,
on a :
Ker (A) ⊂ Ker ( t A A).
• Soit X ∈ Ker ( t A A) ;
alors : ||AX|| 2 = t (AX)(AX) = t X ( t A AX) = 0 ,
donc
AX = 0 .
On conclut :
Ker (A) = Ker ( t A A).
4.2.1
4.2.2
4.2.3
4.2.4
4.2.5
4.1.2
c’est-à-dire A ∈ A n (R).
a) 1) • Réflexivité : ∀A ∈ M n (R), A C A , en choisissant
P = I n .
• Symétrie : Soit (A,B) ∈ (M n (R)) 2 tel qu’il existe
P ∈ GL n (R) tel que B = t P AP.
On a alors A = ( t P) −1 B P −1 = t (P −1 )B P −1 , donc B C A.
• Transitivité : Soit (A,B,C) ∈
M n (R)
3 tel que A C B et
B C C . Il existe P,Q ∈ GL n (R) telles que : B = t P AP et
C = t Q B Q . On a alors :
C = t Q( t P AP)Q = t (P Q)A(P Q)
et P Q ∈ GL n (R), donc A C C.
Ainsi : C est une relation d’équivalence dans M n (R).
2) • Le lien entre équivalence et similitude a déjà été examiné
(cf. Algèbre PCSI-PTSI, 8.2.4 Rem. 1)) ; on a :
∀A,B ∈ M n (R), (A ∼ B ⇒ A eq B),
mais la réciproque est fausse.
• Soient A,B ∈ M n (R) telles que A C B ; il existe
P ∈ GL n (R) telle que : B = t P AP.
Alors : rg (B) = rg (A) , donc A eq B.
• Il est clair que, si B = t P AP
alors det(B) = (det(P)) 2 det(A) ,
donc sgn (det(B)) = sgn (det(A)) .
En prenant n = 1, A = (1), B = (−1) , il est clair que :
A ∼ B et A C / B.
• En prenant n = 1, A = (1), B = (4), on a A C B (choisir
P = (2)) ; on a alors B = t P AP et A ∼ B.
Réponse :
• similitude ⇒ équivalence
• congruence ⇒ équivalence
• il n’y a pas d’autre lien logique.
b) 1) Exemple : n = 1, α = 1 , A = (1), B = (4), A = (−9) ,
B = (−1).
On a ici : A C B , A C B , mais α A + A C / αB + B .
Réponse : non.
2) Si B = t P AP, alors t B = t P t AP.
c) • Si B = t P AP,
alors t M B M = t M t P AP M = t (P M)A(P M)
et P M ∈ GL n (R) .
• Exemple où M ∈ GL n (R) :
A =
1 0
0 0
, B =
0 0
0 1
, M =
1 1
0 0
.
323
On a ici :
A C B (choisir P =
0 1
1 0
), t M AM C / t M B M
(car t M AM =
1 1
1 1
et t M B M = 0 ).
Réponse : non.
d) S’il existe P ∈ GL p (R) , Q ∈ GL q (R) telles que
A = t P AP et B = t Q B Q, alors, en notant R =
P 0
0 Q
,
on a R ∈ GL p+q (R) et :
B 0
0 B
= t R
A 0
0 A
R .
e) La propriété résulte trivialement de la formule de changement de base pour les fbs (4.1.2 4) Prop. 4 p. 118).
1) Supposons que ψ soit un produit scalaire sur E . Comme
E = {0} , il existe x 0 ∈ E − {0}, et on a ϕ(x 0 ,x 0 ) > 0. Alors :
0 = ψ(x 0 ,0) = aϕ(x 0 ,x 0 ),
0 = ψ(0,x 0 ) = cϕ(x 0 ,x 0 ),
0 < ψ(x 0 ,x 0 ) = bϕ(x 0 ,x 0 ),
d’où : a = c = 0, b > 0 .
2) Réciproque évidente.
Réponse : a = c = 0 et b > 0 .
Appliquer l’inégalité de Cauchy-Schwarz à AX, BY dans
M n,1 (R) muni de son produit scalaire canonique.
Comme (X,Y ) −→ tr( t XY ) est un produit scalaire sur
M p,n (R) (cf. 4.2.1 Exemple 2) p. 138) :
t A A = 0 ⇒ tr ( t A A) = 0 ⇒ A = 0.
En notant M = B − C et en utilisant l’ex. 4.2.3 :
B A t A = C A t A ⇐⇒ M A t A = 0 ⇒ M A t A t M = 0
⇐⇒ t ( t A t M)( t A t M) = 0 ⇒ t A t M = 0
⇒ t (M A) = t A t M = 0 ⇒ M A = 0.
1) • Puisque, pour tout X de M n,1 (R) :
AX = 0 ⇒ ( t A A)X = t A(AX) = 0 ,
on a :
Ker (A) ⊂ Ker ( t A A).
• Soit X ∈ Ker ( t A A) ;
alors : ||AX|| 2 = t (AX)(AX) = t X ( t A AX) = 0 ,
donc
AX = 0 .
On conclut :
Ker (A) = Ker ( t A A).
4.2.1
4.2.2
4.2.3
4.2.4
4.2.5
4.1.2