306
• Pour n = 5 , vérifier qu'il n'existe pas p ∈ {1,. . . ,5} ,
(ω 1 ,. . . ,ω p ) ∈ (N ∗ ) P tels que :
p
k=1
ω k = 5 et
p
k=1
ω 2
k = 10 .
Réponse :
• dim(C(A)) =
p
k=1
ω 2
k
• n = 5 ⇒ dim(C(A)) = 10 .
c) 1) Il est clair que, si p = n, alors ω 1 = . . . = ω n = 1, donc
dim(C(A)) =
p
k=1
ω 2
k = n .
2) Réciproquement, supposons dim(C(A)) = n .
D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz :
n 2 =
p
k=1
ω k
2
p
k=1
1 2
p
k=1
ω 2
k
= pn,
d'où n = p.
a) Il existe P ∈ GL n (K ) telle que B = P −1 AP.
Notons
f : M n (K ) −→ M n (K )
M −→ P
−1 M P
, g : M n (K ) −→ M n (K )
X −→ P X P
−1
.
Soit M ∈ C A . Il existe Q ∈ GL n (K ) telle que
M = Q −1 AQ , et AM = M A. D'où :
f (M) = P
−1 Q
−1 AQ P = (P
−1 Q P)
−1 B(P
−1 Q P) ∼ B
f (M)B = P
−1 M AP = P
−1 AM P = B f (M)
,
et donc f (M) ∈ C B .
Le même raisonnement montre : ∀X ∈ C B , g(X) ∈ C A .
Ainsi : f (C A ) ⊂ C B et g(C B ) ⊂ C A .
Considérons
f : C A −→ C B
M −→ P
−1 M P
et
g : C B −→ C A
X −→ P X P
−1
.
Puisque g ◦ f = Id C A et f ◦ g = Id C B , f et g sont des bijections réciproques l'une de l'autre.
b) Puisque A ∈ M n (K ) et que A admet n vp λ 1 ,. . . ,λ n
deux à deux distinctes, A est diagonalisable. Il existe
P ∈ GL n (K ), D = diag(λ 1 ,. . . ,λ n ) telles que
A = P D P −1 .
Soit X = (x i j ) i j ∈ M n (K ). On a :
M D = DM⇐⇒
∀(i, j) ∈ {1,. . . ,n} 2 , m i j λ j = λ i m i j
⇐⇒
∀(i, j) ∈ {1,. . . ,n} 2 ,(i = j ⇒ m i j = 0)
⇐⇒ M ∈ D n (K ).
Puis, sachant que D a n vp deux à deux distinctes :
M∼D⇐⇒
∃σ ∈ S n , M =
λ σ (1)
0
. . .
0
λ σ (n)
.
Ainsi :
C D =
λ σ (1)
0
. . .
0
λ σ (n)
; σ ∈ S n
,
qui a exactement n! éléments.
D'après a), C A est aussi fini et a n! éléments.
Puisque A et B sont diagonalisables, il existe
P ∈ GL p (K ) , D =
λ 1
0
. . .
0
λ p
∈ D p (K ) ,
Q ∈ GL q (K ), E =
µ 1
0
. . .
0
µ q
∈ D q (K )
telles que :
A = P D P −1 et B = Q E Q −1 .
Soient U ∈ M p,q (K ) (à choisir ultérieurement),
R =
P U
0 Q
∈ M n (K ) . Montrer que R est inversible et :
R −1 =
P −1 −P −1 U Q −1
0
Q −1
.
En notant F =
D 0
0 E
, on a alors :
R F R −1 =
A W
0 B
,
où
W = −P D P −1 U Q −1 + U E Q −1 .
Puis :
W = C ⇐⇒ (P −1 U )E − D(P −1 U ) = P −1 C Q .
Nous allons montrer qu'il existe U satisfaisant l'équation précédente, en prouvant que φ : M p,q (K ) −→ M p,q (K )
Y −→ Y E − DY
est bijective.
Soit Y = (y i j ) ∈ M p,q (K ) .
On a :
φ(Y ) = 0 ⇐⇒(∀(i,k) ∈{1,. . . ,p}×{1,. . . ,q},y ik µ k = λ i y ik ) .
Mais :
{λ 1 ,. . . ,λ p } ∩ {µ 1 ,. . . ,µ q } = Sp K (A) ∩ Sp K (B) = ∅ ,
donc : ∀(i,k) ∈ {1,. . . ,p} × {1,. . . ,q}, λ i = µ k .
Alors :
φ(Y ) = 0 ⇐⇒
∀(i,k) ∈ {1,. . . , p}×{1,. . . ,q},y ik = 0)
⇐⇒ Y = 0
.
3.3.22
3.3.23
• Pour n = 5 , vérifier qu'il n'existe pas p ∈ {1,. . . ,5} ,
(ω 1 ,. . . ,ω p ) ∈ (N ∗ ) P tels que :
p
k=1
ω k = 5 et
p
k=1
ω 2
k = 10 .
Réponse :
• dim(C(A)) =
p
k=1
ω 2
k
• n = 5 ⇒ dim(C(A)) = 10 .
c) 1) Il est clair que, si p = n, alors ω 1 = . . . = ω n = 1, donc
dim(C(A)) =
p
k=1
ω 2
k = n .
2) Réciproquement, supposons dim(C(A)) = n .
D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz :
n 2 =
p
k=1
ω k
2
p
k=1
1 2
p
k=1
ω 2
k
= pn,
d'où n = p.
a) Il existe P ∈ GL n (K ) telle que B = P −1 AP.
Notons
f : M n (K ) −→ M n (K )
M −→ P
−1 M P
, g : M n (K ) −→ M n (K )
X −→ P X P
−1
.
Soit M ∈ C A . Il existe Q ∈ GL n (K ) telle que
M = Q −1 AQ , et AM = M A. D'où :
f (M) = P
−1 Q
−1 AQ P = (P
−1 Q P)
−1 B(P
−1 Q P) ∼ B
f (M)B = P
−1 M AP = P
−1 AM P = B f (M)
,
et donc f (M) ∈ C B .
Le même raisonnement montre : ∀X ∈ C B , g(X) ∈ C A .
Ainsi : f (C A ) ⊂ C B et g(C B ) ⊂ C A .
Considérons
f : C A −→ C B
M −→ P
−1 M P
et
g : C B −→ C A
X −→ P X P
−1
.
Puisque g ◦ f = Id C A et f ◦ g = Id C B , f et g sont des bijections réciproques l'une de l'autre.
b) Puisque A ∈ M n (K ) et que A admet n vp λ 1 ,. . . ,λ n
deux à deux distinctes, A est diagonalisable. Il existe
P ∈ GL n (K ), D = diag(λ 1 ,. . . ,λ n ) telles que
A = P D P −1 .
Soit X = (x i j ) i j ∈ M n (K ). On a :
M D = DM⇐⇒
∀(i, j) ∈ {1,. . . ,n} 2 , m i j λ j = λ i m i j
⇐⇒
∀(i, j) ∈ {1,. . . ,n} 2 ,(i = j ⇒ m i j = 0)
⇐⇒ M ∈ D n (K ).
Puis, sachant que D a n vp deux à deux distinctes :
M∼D⇐⇒
∃σ ∈ S n , M =
λ σ (1)
0
. . .
0
λ σ (n)
.
Ainsi :
C D =
λ σ (1)
0
. . .
0
λ σ (n)
; σ ∈ S n
,
qui a exactement n! éléments.
D'après a), C A est aussi fini et a n! éléments.
Puisque A et B sont diagonalisables, il existe
P ∈ GL p (K ) , D =
λ 1
0
. . .
0
λ p
∈ D p (K ) ,
Q ∈ GL q (K ), E =
µ 1
0
. . .
0
µ q
∈ D q (K )
telles que :
A = P D P −1 et B = Q E Q −1 .
Soient U ∈ M p,q (K ) (à choisir ultérieurement),
R =
P U
0 Q
∈ M n (K ) . Montrer que R est inversible et :
R −1 =
P −1 −P −1 U Q −1
0
Q −1
.
En notant F =
D 0
0 E
, on a alors :
R F R −1 =
A W
0 B
,
où
W = −P D P −1 U Q −1 + U E Q −1 .
Puis :
W = C ⇐⇒ (P −1 U )E − D(P −1 U ) = P −1 C Q .
Nous allons montrer qu'il existe U satisfaisant l'équation précédente, en prouvant que φ : M p,q (K ) −→ M p,q (K )
Y −→ Y E − DY
est bijective.
Soit Y = (y i j ) ∈ M p,q (K ) .
On a :
φ(Y ) = 0 ⇐⇒(∀(i,k) ∈{1,. . . ,p}×{1,. . . ,q},y ik µ k = λ i y ik ) .
Mais :
{λ 1 ,. . . ,λ p } ∩ {µ 1 ,. . . ,µ q } = Sp K (A) ∩ Sp K (B) = ∅ ,
donc : ∀(i,k) ∈ {1,. . . ,p} × {1,. . . ,q}, λ i = µ k .
Alors :
φ(Y ) = 0 ⇐⇒
∀(i,k) ∈ {1,. . . , p}×{1,. . . ,q},y ik = 0)
⇐⇒ Y = 0
.
3.3.22
3.3.23