On a :
B A = A −1 (AB)A = A −1 (P D P −1 )A
= (P −1 A) −1 D(P −1 A),
donc B A est diagonalisable.
b) Considérer n = 2, A =
0 1
0 0
, B =
1 1
0 0
.
• AB =
0 0
0 0
est diagonalisable
• B A =
0 1
0 0
n'est pas diagonalisable.
Réponse : non.
Notons A = (a i j ) i j .
Il existe λ 1 ,. . . ,λ n ,µ 1 ,. . . ,µ n ∈ R tels que :



λ 1 ,. . . ,λ n sont deux à deux distincts
µ 1 ,. . . ,µ n sont deux à deux distincts
∀i ∈ {1,. . . ,n}, λ i + µ i = a ii .
En effet, on prend :
•
λ 1 quelconque
µ 1 = a 11 − λ 1
•
λ 2 tel que : λ 2 = λ 1 et λ 2 = a 22 − µ 1
µ 2 = a 22 − λ 2
•



λ 3 tel que : λ 3 = λ 1 , λ 3 = λ 2 , λ 3 = a 33 − µ 1 ,
λ 3 = a 33 − µ 2
µ 3 = a 33 − λ 3
. . .
ce qui est possible puisque R est infini.
En notant B =





λ 1
a 21 λ 2
0
. . .
. . .
. . .
a n1 . . . a n n−1 λ n





et
C =






µ 1 a 12 . . .
a 1n
µ 2
. . .
. . .
0
. . . a n−1 n
µ n






,
on a B + C = A, et B et C sont diagonalisables (elles ont n
vp deux à deux distinctes).
Il existe P ∈ GL n (K ), D ∈ D n (K ) telles que
M = P D P −1 , et on a :
M k A = 0 ⇐⇒ D k (P −1 A) = 0.
Notons D =




λ 1
0
. . .
0
λ n



 ,
P −1 A =



α 11 . . . α 1n
. . .
. . .
α n1 . . . α nn


 .
305
Alors D k (P −1 A) =



λ k
1 α 11 . . . λ k
1 α 1n
. . .
. . .
λ k
n α n1 . . . λ k
n α nn


 , d'où :
D
k P
−1 A = 0 ⇐⇒
∀(i, j) ∈ {1,. . . ,n} 2 , λ
k
i α i j = 0
⇐⇒
∀(i, j) ∈ {1,. . . ,n} 2 , λ i α i j = 0
⇐⇒ D(P
−1 A) = 0 ⇐⇒ M A = 0.
a) Soient B ∈ M n (K ), E = P −1 B P.
On a :
AB = B A ⇐⇒ DE = E D.
Décomposons E en blocs suivant les mêmes formats que la
décomposition D =




λ 1 I ω 1
0
. . .
0
λ p I ω p



 :
E =



E 11 . . . E 1p
. . .
. . .
E p1 . . . E pp


 .
On a :
DE = E D ⇐⇒
∀(i, j) ∈ {1,. . . ,p} 2 , λ i E i j = λ j E i j
⇐⇒
∀(i, j) ∈ {1,. . . ,p} 2 , (i = j ⇒ E i j = 0)
.
Réponse :
C(A) =

  
  
P




A 1
0
. . .
0
A p



 P −1 ;
(A 1 ,. . . ,A p ) ∈ M ω 1 (K ) × . . . × M ω p (K )



.
b) • 0 ∈ C(A) et, pour tous α de K et B,C de C(A) :
A(α B + C) = α AB + AC = α B A + C A = (α B + C)A,
donc α B + C ∈ C(A).
Ainsi, C(A) est un sev de M n (K ).
• D'après a), l'application θ :
p
k=1
M ω k (K ) −→ C(A)
définie par
θ(A 1 ,. . . ,A p ) = P




A 1
0
. . .
0
A p



 P −1 ,
est un isomorphisme de K-ev. Donc :
dim
C(A)
= dim
p
k=1
M ω k (K )
=
p
k=1
dim(M ω k (K )) =
p
k=1
ω 2
k .
3.3.19
3.3.20
3.3.21