298
b) Notons P =
1 − t X
0
I n
∈ M n+1 (C) ; il est clair que P est
inversible et P −1 =
1 t X
0 I n
.
On a :
P AP
−1 =
1 − t X
0
I n
α L
C B
1 t X
0 I n
=
α − t XC L − t X B
C
B
1 t X
0 I n
=
0 0
C B
1 t X
0 I n
=
0
0
C C t X + B
,
d'où, pour tout λ de K :
χ A (λ) = χ P AP −1 (λ) = det
−λ
0
C C t X + B − λI n
= −λχ C t X+B (λ).
On conclut : C t X + B a pour vp λ 1 ,. . . ,λ n .
Plus précisément :
∀λ ∈ K , χ C t X+B (λ) = (−1)
n
n
k=1
(λ − λ k ).
a) 1 ère méthode : Pour k ∈ {0,. . . ,n − 1}, notons
A k =





0
1
0
❜ ❜
0
0
1
a k . . . a n−2 a n−1





∈ M n−k (K ).
En développant par rapport à la 1 ère colonne :
χ A (λ) = χ A 0 (λ)
=
−λ
1
0
❜ ❜
0
−λ
1
a 0
. . . a n−2 a n−1 − λ
= −λχ A 1 (λ) + (−1)
n+1 a 0 .
On combine les relations :
χ A 0 (λ) = −λχ A 1 (λ) + (−1) n+1 a 0
1
χ A 1 (λ) = −λχ A 2 (λ) + (−1) n a 1
−λ
. . .
. . .
χ A n−2 (λ) = −λχ A n−1 (λ) + (−1) 3 a n−2
(−λ) n−2
χ A n−1 (λ) = −λ + (−1) 2 a n−1
(−λ) n−1
D’où
χ A (λ) = (−1)
n+1 a 0 + (−1)
n+1 a 1 λ + . . .
+ (−1)
n+1 a n−1 λ
n−1 + (−1)
n λ
n
= (−1) n
λ
n −
n−1
k=0
a k λ
k
.
2 è méthode :
On a, par C 1 ←− C 1 + λC 2 + · · · + λ
n−1 C n :
χ A (λ) =
−λ 1
0 . . . . . .
0
0
. . .
. . .
. . . (0)
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
(0)
. . .
. . .
. . .
0
0
. . . . . . 0
−λ
1
a 0 . . . . . . . . . a n−2 a n−1 − λ
[n]
=
0
1
0 . . . . . .
0
0
. . .
. . .
. . . (0)
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . (0)
. . .
. . .
. . .
0
0 . . . . . . 0
−λ
1
α . . . . . . . . . a n−2 a n−1 − λ
[n]
= (−1)
n+1 α,
par développement par rapport à la première colonne, où :
α = a 0 + a 1 λ + · · · + λ
n−2 a n−2 + λ
n−1 (a n−1 − λ),
donc : χ A (λ) = (−1)
n
λ
n −
n−1
k=1
a k λ
k
.
b) Condition nécessaire évidente : α n = (−1) n .
Réciproquement, pour tout (α 0 ,. . . ,α n−1 ) de K n , d'après a),
il existe A ∈ M n (K ) telle que
χ A = (−1)
n X
n +
n−1
k=0
α k X
k .
Réponse : α n = (−1) n .
Remarquer les égalités matricielles, dans M n+ p (K ) :
λI n A
B I p
−I n 0
B
I p
=
AB − λI n A
0
I p
et
λI n A
B I p
−I n
A
0
−λI p
=
−λI n
0
−B
BA− λI p
,
d'où, en passant aux déterminants :
det(AB − λI n ) = (−1) n det
λI n A
B I p
et
(−λ) n det(B A − λI p ) = (−1) n (−λ) p det
λI n A
B I p
,
et donc : (−λ) n χ B A (λ) = (−λ) p χ AB (λ) .
a) Remarquer B
V
1
=
0
0
, donc 0 ∈ Sp C (B) .
b) Notons P =
I n 0
t U 1
∈ M n+1 (C) ; il est clair que P est
inversible et P −1 =
I n
0
− t U 1
.
3.2.11
3.2.12
3.2.13