Ceci montre que H est stable par A.
L'hyperplan de E associé à H dans la base B est donc stable
par f.
Le terme de degré 1 en λ dans
χ A (λ) =
a 11 − λ
a 12
. . .
a 1n
a 21
a 22 − λ
. . .
. . .
. . .
a n1
. . .
a nn − λ
est : −λA 11 − λA 22 − . . . − λA nn , où A ii est à la fois le
mineur et le cofacteur de a ii dans A.
χ A (λ) = det




A 1 − λI n 1
0
. . .
0
A N − λI n N




=
N
k=1
det(A k − λI n k ) =
N
k=1
χ A k (λ).
Dans l'égalité matricielle
−λI n
B
C
−λI p
I n
B
0 λI p
=
−λI n
0
C
CB− λ 2 I p
,
prendre les déterminants.
1 ère méthode
D'après l'exercice 3.2.5 et puisque A et I n commutent :
χ M (λ) = (−1) n det(A 2 − λ 2 I n )
= (−1) n det(A − λI n )det(A + λI n )
= (−1) n χ A (λ)χ A (−λ).
2 ème méthode
Par opérations sur les colonnes puis les lignes :
χ M (λ)= det
−λI n
A
A
−λI n
= det
−λI n + A
A
A − λI n −λI n
= det
A − λI n
A
0
−A − λI n
= (−1)
n det(A − λI n )det(A + λI n ).
∀λ ∈ K , χt A (λ) = det( t A − λI n ) = det( t (A − λI n ))
= det(A − λI n ) = χ A (λ).
Notons B 0 = (e 1 ,. . . ,e n ) la base canonique de R n ,
A = (a i j ) i j = Mat B 0 ( f ) .
Soit j ∈ {1,. . . ,n}. Comme e j ∈ (R + ) n et que
f (e j ) = (a 1 j ,. . . ,a nj ) , on déduit :
∀i ∈ {1,. . . ,n}, a i j 0.
297
Alors :
n
i=1
a i j =
n
i=1
|a i j | = || f (e j )|| 1 = ||e j || 1 = 1 .
Considérons u = (1,. . . ,1). On a u = 0 et :
t A



1
1


=



a 11 . . . a n1
. . .
. . .
a 1n . . . a nn






1
1


=







n
i=1
a i1
. . .
n
i=1
a in







=



1
1


.
Ainsi : 1 ∈ Sp R ( t A) .
D'après l'exercice 3.2.7, on déduit 1 ∈ Sp R (A), c'est-à-dire
1 ∈ Sp R ( f ).
On a :
t Y AZ = t ( t AY )Z = t (λY )Z = λ t Y Z
t Y AZ = t Y (AZ) = t Y (µZ ) = µ t Y Z
d'où (λ − µ) t Y Z = 0.
• Si λ = µ , alors Z ∈ SEP(A,λ) , qui est de dimension 1, donc
Z est colinéaire à X.
• Supposons λ = µ ; alors t Y Z = 0.
En notant Y =



y 1
. . .
y n


 , Z =



z 1
. . .
z n


 où, pour tout i de
{1,. . . ,n}, y i > 0 et z i 0 , on déduit (∀i ∈ {1,. . . ,n} ,
z i = 0), donc Z = 0 , contradiction.
a) Notons
C =



c 1
. . .
c n


, L = (l 1 ,. . . ,l n ), B =



b 11 . . . b 1n
. . .
. . .
b n1 . . . b nn


 ,
donc A =





α
l 1 . . . l n
c 1 b 11 . . . b 1n
. . .
. . .
. . .
c n b n1 . . . b nn





.
Par hypothèse, il existe x 1 ,. . . ,x n ∈ C tels que :

    
    
α =
n
i=1
x i c i
∀ j ∈ {1,. . . ,n}, l j =
n
i=1
x i b i j .
En notant X =



x 1
. . .
x n


, on a alors :

    
    
t XC =
n
i =1
x i c i = α
t X B =
n
i =1
x i b i 1 ,. . . ,
n
i =1
x i b in
= (l 1 ,. . . ,l n ) = L .
3.2.3
3.2.4
3.2.5
3.2.6
3.2.7
3.2.8
3.2.9
3.2.10