Réponse : n!.
c) Opérer simultanément C 2 − C 2 − C 1 ,
C 3 − C 3 − C 2 , . . ., C n − C n − C n−1 ,
puis développer par rapport à la dernière ligne.
Réponse : a 1 (a 1 − a 2 )
n−1 .
d) En développant par multilinéarité et alternance :
a 1 + b 1
a 1
. . .
a 1
a 2
a 2 + b 2 . . .
a 2
. . .
. . .
. . .
. . .
a n
a n
. . . a n + b n
=
b 1
0
. . .
0
b n
+
a 1 0
a 2 b 2 0
. . .
. . .
0
a n
b n
+
b 1 a 1 0
0 a 2 0
. . . b 3 0
. . .
. . .
0 a n
0
b n
+ . . . +
b 1
a 1
. . .
0
. . .
b n−1
. . .
0
a n
.
Réponse : b 1 . . . b n + a 1 b 2 . . . b n +b 1 a 2 b 3 . . . b n
+ . . . + b 1 . . . b n−1 a n .
Si b 1 . . . b n = 0 , on peut écrire le résultat sous la forme :
b 1 . . . b n
1 +
a 1
b 1
+ . . . +
a n
b n
.
e) En notant ∆ n le déterminant proposé, et en remplaçant C n
par C 1 + . . . + C n , on obtient :
287
1
er cas : δ = 0
L’équation caractéristique admet deux solutions distinctes
r 1 ,r 2 , et il existe (λ 1 ,λ 2 ) ∈ C
2 tel que :
∀n ∈ N
∗ , ∆ n = λ 1 r
n
1 + λ 2 r
n
2 .
Remarquons qu’on peut poser ∆ 0 = 1 pour que la relation
∆ n = a∆ n−1 − bc∆ n−2 soit aussi vraie pour n = 2.
Alors :
∆ 0 = 1
∆ 1 = a
⇐⇒
λ 1 + λ 2 = 1
λ 1 r 1 + λ 2 r 2 = a
⇐⇒

 
 
λ 1 =
r 1
r 1 − r 2
λ 2 =
r 2
r 2 − r 1
.
D’où : ∆ n =
1
r 1 − r 2
(r
n+1
1
− r
n+1
2
) .
2
`
eme cas : δ = 0
L’équation caractéristique admet une solution « double » valant
a
2
, et il existe (λ,µ) ∈ C
2 tel que :
∀n ∈ N, ∆ n = (λn + µ)
a
2
n
.
Alors :
∆ 0 = 1
∆ 1 = a
⇐⇒
µ = 1
(λ + µ)
a
2
= a ⇐⇐ λ = µ = 1 .
Réponse : • Si a
2
− 4bc = 0 , en notant r 1 ,r 2 les deux zéros
de X
2
− aX + bc dans C , on a :
∀n ∈ N, ∆ n =
1
r 1 − r 2
(r
n+1
1
− r
n+1
2
).
• Si a
2
− 4bc = 0 , alors : ∀n ∈ N, ∆ n = (n + 1)
a
2
n
.
On peut réunir les réponses de ces deux cas sous la forme :
∆ n =
n
k=0
r
k
1 r
n−k
2 .
g) En notant ∆ n le déterminant proposé :
∆ n =
C
0
0
0
0
C
0
1
C
1
1
. . .
C
n
n
C
0
2
C
1
2
. . . C
n
n+1
. . .
. . .
. . .
C
0
n
C
1
n
. . . C
n
2n−1
par C j
C j − C j−1 pour j 2
=
C
0
0
0
0
0
C
1
1
. . .
C
n
n
C
0
1
. . . C
n−1
n
. . .
. . .
0 C
0
n−1
. . . C
n−1
2n−2
par L i
L i − L i−1 pour i 2
= ∆ n−1 .
∆ n =
a 1
−a 1
0
−a 1 a 1 + a 2
0
−a n+2
0
−a n−2
a n−2 + a n−1 0
0
−a n−1
a n
= a n ∆ n−1 .
.. .. .. .. .. .. .
.. .. .. .. .. .. .. ..
.. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
Réponse :
n
k=1
a k .
f) Notons
Pour n 3 , on obtient en développant d’abord par rapport à
la 1
`
ere ligne :
∆ n =
a b
0
c
b
0 c a
[n]
.
∆ n =
a b
0
c
b
0 c a
[n]
.
Utiliser l’étude des suites récurrences linéaires du 2
nd ordre à
coefficients constants (Analyse PCSI-PTSI, 3.4.2).
L’équation caractéristique est r
2
− ar + bc = 0 , de discriminant δ = a
2
− 4bc.
−→
−→
−→
−→
−→