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Supposons A = 0 ; il existe j ∈ {1,. . . ,n} tel que C j = 0.
D’après le théorème de la base incomplète, il existe des colonnes
V 1 ,. . . ,V j−1 ,V j+1 ,. . . ,V n de M n,1 (C) telles que
(V 1 ,. . . ,V j−1 ,C j ,V j+1 ,. . . ,V n ) soit une base de M n,1 (C) .
En notant M la matrice dont les colonnes sont V 1 ,. . . ,
V j−1 ,−C j ,V j+1 ,. . . ,V n , on a alors :
det(A + M) = 0 (car la j `
eme colonne est nulle)
det(M) = 0
,
contradiction.
Donc A = 0 .
Réciproque évidente.
Réponse : {0} .
a) Puisque AB = B A , on a :
A 2 + B 2 = (A + iB)(A − iB) , d’où :
det(A 2 + B 2 ) = det(A + iB) det(A − iB)
= det(A + iB)det(A + iB) = | det(A + iB)| 2 0 .
b) Réponse : • oui, si n = 1
• non, si n 2 ;
exemple : A =
0 −2
2
0
, B =
1 0
0 3
.
L’application P : R −→ R
x −→ det(A + x B)
est polynomiale, donc
continue.
Puisque P(x) − −− →
x→0
P(0) = det(A) = 0 , il existe ε > 0 tel
que : ∀x ∈ R ,
(|x| < ε ⇒ P(x) = 0 ⇒ A + x B ∈ GL n (R)) .
a) Récurrence sur k .
• Evident pour k = 0 .
• Si AB k = B k (A + kI n ) , alors :
AB
k+1 = AB
k B = B
k (A + kI n )B
= B k (AB + k B) = B k (B A + B + k B)
= B
k+1 (A + (k + 1)I n ).
b) Raisonnons par l’absurde : supposons det(B) = 0.
On déduit alors de a) :
∀k ∈ N , det(A) = det(A + kI n ) .
Mais R −→ R
x −→ det(A + xI n )
est, par développement, un
polynôme de degré n et de coefficient dominant 1 (le seul terme
en x n provient du développement du déterminant faisant intervenir la permutation identité).
Donc det(A + kI n ) − −− →
k∞
+ ∞ , contradiction.
Réponse : com(A) =




det(M) 0
0
0
0
0



 .
Puisque A
p
= I n et p ∈ N
∗ , A est inversible, d’où :
com(A)
p =
det(A)
t
A
−1
p = ( det(A))
p t (A −1 ) p
= det(A
p
)
t
(A
p
)
−1
= I n .
Puisque A est inversible :
com(A
−1
) = det(A
−1
)
t
(A
−1
)
−1
= ( det(A) t A −1 )
−1
=
com(A)
−1 .
a)
1
2
2
2
3
2
. . .
n
2
2
2
3
2
4
2
. . . (n + 1)
2
. . .
. . .
. . .
. . .
n
2
(n + 1)
2
(n + 2)
2
. . . (2n − 1)
2
=
1
2
3
5
. . . 2n − 1
2
2
5
7
. . . 2n + 1
. . .
. . .
. . .
. . .
n
2
2n + 1 2n + 3 . . . 4n − 3
par C j
C j − C j−1 pour j 2
=
1
2
3
2
2
2
2
5
2
2
. . .
. . .
n
2
2n + 1 2
2
par C j
C j − C j−1 pour j 3 .
Réponse :

  
  
0
si n > 3
−8 si n = 3
−7 si n = 2
1
si n = 1.
b) Opérer simultanément : C 2
C 2 − C 1 ,
C 3
C 3 − C 2 , . . ., C n
C n − C n−1
(ce qui revient à opérer successivement :
C n
C n − C n−1 ,. . . ,C 3
C 3 − C 2 ,
C 2
C 2 − C 1 ) :
S 1 S 1 S 1
S 1
S 1 S 2 S 2
S 2
S 1 S 2 S 3
S 3
. . .
. . .
S 1 S 2 S 3 . . . S n
=
S 1
0
0
S 2 − S 1
. . .
0
S 1 S 2 − S 1 . . . S n − S n−1
2.5.5
2.5.6
2.5.7
2.6.1
2.6.2
2.6.3
2.7.1
−→
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