c) En utilisant a) et b) :
Id F − f ◦ g bijective ⇐⇒
Id F − f ◦ g injective
Id F − f ◦ g surjective
⇐⇒
Id E −g ◦ f injective
Id E −g ◦ f surjective
⇐⇒ Id E −g ◦ f bijective.
(i) ⇒ (ii) :
On suppose f ∈ GL(E).
Soient A,B deux sev de E supplémentaires dans E.
Alors :
f (A) + f (B) = f (A + B) = f (E) = E,
et, puisque f est injective :
f (A) ∩ f (B) = f (A ∩ B) = f ({0}) = {0}.
Donc f (A) et f (B) sont des sev supplémentaires dans E.
(ii) ⇒ (i) :
On suppose que, pour tous sev A,B supplémentaires
dans E , les sev f (A), f (B) sont supplémentaires dans E.
• Puisque {0} et E sont supplémentaires dans E,
f ({0}) et f (E) sont supplémentaires dans E, d'où :
E = f ({0}) + f (E) = {0} + f (E) = Im ( f ),
et donc f est surjective.
• Puisque f ∈ L(E) est surjective et que E est de dimension
finie, on conclut f ∈ GL(E).
(i) ⇒ (ii) :
Supposons qu'il existe deux projecteurs p,q de E tels que :
f = p − q et Im ( p) = Im (q).
On a, pour tout x ∈ E, q(x) ∈ Im (q) = Im ( p), donc
p(q(x)) = q(x), ce qui montre p ◦ q = p.
De même, q ◦ p = p.
On déduit :
f 2 = ( p − q) 2 = p 2 − p ◦ q − q ◦ p + q 2 = 0.
(ii) ⇒ (i) :
Supposons f 2 = 0.
Puisque E est de dimension finie, le sev Ker ( f ) de E admet
au moins un supplémentaire dans E ; il existe donc un projecteur
p de E tel que Im ( p) = Ker ( f ).
Notons q = p − f, de sorte que f = p − q.
• On a Im ( p) ⊂ Ker ( f ), donc f ◦ p = 0.
• Comme f 2 = 0, on a, en notant e = Id E ,
Im ( f ) ⊂ Ker ( f ) = Im ( p) = Ker (e − p),
donc (e − p) ◦ f = 0, d'où p ◦ f = f.
279
• On a alors :
q 2 = ( p − f ) 2
= p 2 − p ◦ f − f ◦ p + f 2 = p − f = q,
donc q est un projecteur de E.
• Soit x ∈ Im ( p).
On a :
x = p(x) ∈ Im ( p) = Ker ( f ),
donc f (x) = 0, puis :
q(x) = ( p − f )(x) = p(x) − f (x) = x,
d'où x ∈ Im (q).
Ceci montre : Im ( p) ⊂ Im (q).
• Soit x ∈ Im (q). On a :
x = q(x) = p(x) − f (x),
d'où :
p(x) = p 2 (x) − p ◦ f (x) = p(x) − f (x),
donc f (x) = 0, puis :
x = q(x) = p(x) − f (x) = p(x) ∈ Im ( p),
ce qui montre : Im (q) ⊂ Im ( p).
Finalement, p et q sont des projecteurs de E , f = p − q et
Im ( p) = Im (q).
a) Puisque Im( f ) = K u et u = 0, pour tout x deE , il existe
λ x ∈ K unique tel que f (x) = λ x u, ce qui permet de définir
une application ϕ : E −→ K
x −→ λ x
.
Si λ ∈ K , (x,y) ∈ E 2 , alors :
ϕ(λx + y)u = f (λx + y) = λ f (x) + f (y)
= λϕ(x)u + ϕ(y)u
=
λϕ(x) + ϕ(y)
u,
donc ϕ(λx + y) = λϕ(x) + ϕ(y).
Ainsi : ϕ ∈ E ∗ .
b) • ∀x ∈ E,
f 2 (x) = ϕ(ϕ(x)u)u= ϕ(u)ϕ(x)u = ϕ(u) f (x) .
En notant α = ϕ(u), on a donc : f 2 = α f.
• Si (α,β) ∈ K 2 vérifie f 2 = α f = β f, alors α = β, puisque
f = 0.
• Chercher un éventuel inverse de f − e sous la forme
λ f + µe, (λ,µ) ∈ K 2 (e = Id E ).
Réponse :
∀α ∈ K − {1} , ( f − Id E ) −1 =
1
α − 1
f − Id E .
1.2.4
1.2.3
1.3.1