278
Solutions des exercices
Chapitre 1
1.1.1
1.2.1
1) Soit x ∈ (A + B) ∩ C.
Il existe a ∈ A, b ∈ B tels que x = a + b, et x ∈ C.
On a : a = x − b, x ∈ C, b ∈ B ⊂ C, donc a ∈ C. Ainsi,
x = a + b, a ∈ A ∩ C, b ∈ B, donc x ∈ (A ∩ C) + B.
Ceci montre : (A + B) ∩ C ⊂ (A ∩ C) + B.
2) Réciproquement, soit x ∈ (A ∩ C) + B. Il existe
y ∈ A ∩ C et b ∈ B tels que x = y + b.
On a : y ∈ A ∩ C ⊂ A et b ∈ B, donc x ∈ A + B.
D'autre part : y ∈ A ∩ C ⊂ C et b ∈ B ⊂ C,
donc x = y + b ∈ C.
D'où : x ∈ (A + B) ∩ C.
Ceci montre : (A ∩ C) + B ⊂ (A + B) ∩ C.
On conclut : (A + B) ∩ C = (A ∩ C) + B.
Considérons l'application
u : Ker ( f + g) −→ F, x −→ u(x) = f (x),
restriction de f à Ker ( f + g) au départ.
Il est clair que u est linéaire.
• Déterminons Ker (u).
On a, pour tout x ∈ E :
x ∈ Ker (u) ⇐⇒
x ∈ Ker ( f + g)
f (x) = 0
⇐⇒
f (x) = 0
g(x) = 0
⇐⇒ x ∈ Ker ( f ) ∩ Ker (g),
d'où :
Ker (u) = Ker ( f ) ∩ Ker (g).
• Étudions Im (u).
Soit y ∈ Im (u). Il existe x ∈ Ker ( f + g) tel que
y = u(x) = f (x). On a alors : y = f (x) ∈ Im ( f ).
D'autre part, ( f + g)(x) = 0, donc :
y = f (x) = −g(x) = g(−x) ∈ Im (g).
Ceci montre :
Im (u) ⊂ Im ( f ) ∩ Im (g).
• En appliquant le théorème du rang à u, on obtient :
dim (Ker ( f + g)) = dim (Ker (u)) + dim (Im (u))
dim (Ker ( f ) ∩ Ker (g)) + dim (Im ( f ) ∩ Im (g)).
a) 1) Supposons Id F − f ◦ g injective.
Soit x ∈ Ker(Id E −g ◦ f ).
On a donc (Id E −g ◦ f )(x) = 0 c'est-à-dire g ◦ f (x) = x.
D'où :
(Id F − f ◦ g)( f (x)) = f (x) − f ((g ◦ f )(x))
= f (x) − f (x) = 0.
Puisque Id F − f ◦ g est injective, il s'ensuit f (x) = 0, puis
x = g ◦ f (x) = g(0) = 0.
Ceci montre : Ker (Id E − g ◦ f ) = {0},
et donc Id E − g ◦ f est injective.
2) La réciproque s'obtient en appliquant 1) au couple (g, f ) à
la place de ( f,g).
b) Supposons Id F − f ◦ g surjective.
• Montrons :
Im (g) ⊂ Im (Id E − g ◦ f ).
Soit y ∈ Im (g). Il existe x ∈ F tel que y = g(x). Puisque
Id F − f ◦ g est surjective, il existe t ∈ E tel que :
x = (Id F − f ◦ g)(t) = t − f ◦ g(t).
D'où :
y = g(x) = g(t − ( f ◦ g)(t)) = g(t) − g ◦ f ◦ g(t)
= (Id E − g ◦ f )(g(t)) ∈ Im (Id E − g ◦ f ).
• Soit z ∈ E.
On a :
z = (Id E − g ◦ f )(z) + g( f (z)).
Et :
(Id E − g ◦ f )(z) ∈ Im (Id E − g ◦ f )
g( f (z)) ∈ Im (g) ⊂ Im (Id E − g ◦ f ),
d'où :
z ∈ Im (Id E − g ◦ f ).
On conclut que Id E − g ◦ f est surjective.
2) La réciproque s'obtient en appliquant 1) au couple (g, f ) à
la place du couple ( f,g).
1.2.2
Solutions des exercices
Chapitre 1
1.1.1
1.2.1
1) Soit x ∈ (A + B) ∩ C.
Il existe a ∈ A, b ∈ B tels que x = a + b, et x ∈ C.
On a : a = x − b, x ∈ C, b ∈ B ⊂ C, donc a ∈ C. Ainsi,
x = a + b, a ∈ A ∩ C, b ∈ B, donc x ∈ (A ∩ C) + B.
Ceci montre : (A + B) ∩ C ⊂ (A ∩ C) + B.
2) Réciproquement, soit x ∈ (A ∩ C) + B. Il existe
y ∈ A ∩ C et b ∈ B tels que x = y + b.
On a : y ∈ A ∩ C ⊂ A et b ∈ B, donc x ∈ A + B.
D'autre part : y ∈ A ∩ C ⊂ C et b ∈ B ⊂ C,
donc x = y + b ∈ C.
D'où : x ∈ (A + B) ∩ C.
Ceci montre : (A ∩ C) + B ⊂ (A + B) ∩ C.
On conclut : (A + B) ∩ C = (A ∩ C) + B.
Considérons l'application
u : Ker ( f + g) −→ F, x −→ u(x) = f (x),
restriction de f à Ker ( f + g) au départ.
Il est clair que u est linéaire.
• Déterminons Ker (u).
On a, pour tout x ∈ E :
x ∈ Ker (u) ⇐⇒
x ∈ Ker ( f + g)
f (x) = 0
⇐⇒
f (x) = 0
g(x) = 0
⇐⇒ x ∈ Ker ( f ) ∩ Ker (g),
d'où :
Ker (u) = Ker ( f ) ∩ Ker (g).
• Étudions Im (u).
Soit y ∈ Im (u). Il existe x ∈ Ker ( f + g) tel que
y = u(x) = f (x). On a alors : y = f (x) ∈ Im ( f ).
D'autre part, ( f + g)(x) = 0, donc :
y = f (x) = −g(x) = g(−x) ∈ Im (g).
Ceci montre :
Im (u) ⊂ Im ( f ) ∩ Im (g).
• En appliquant le théorème du rang à u, on obtient :
dim (Ker ( f + g)) = dim (Ker (u)) + dim (Im (u))
dim (Ker ( f ) ∩ Ker (g)) + dim (Im ( f ) ∩ Im (g)).
a) 1) Supposons Id F − f ◦ g injective.
Soit x ∈ Ker(Id E −g ◦ f ).
On a donc (Id E −g ◦ f )(x) = 0 c'est-à-dire g ◦ f (x) = x.
D'où :
(Id F − f ◦ g)( f (x)) = f (x) − f ((g ◦ f )(x))
= f (x) − f (x) = 0.
Puisque Id F − f ◦ g est injective, il s'ensuit f (x) = 0, puis
x = g ◦ f (x) = g(0) = 0.
Ceci montre : Ker (Id E − g ◦ f ) = {0},
et donc Id E − g ◦ f est injective.
2) La réciproque s'obtient en appliquant 1) au couple (g, f ) à
la place de ( f,g).
b) Supposons Id F − f ◦ g surjective.
• Montrons :
Im (g) ⊂ Im (Id E − g ◦ f ).
Soit y ∈ Im (g). Il existe x ∈ F tel que y = g(x). Puisque
Id F − f ◦ g est surjective, il existe t ∈ E tel que :
x = (Id F − f ◦ g)(t) = t − f ◦ g(t).
D'où :
y = g(x) = g(t − ( f ◦ g)(t)) = g(t) − g ◦ f ◦ g(t)
= (Id E − g ◦ f )(g(t)) ∈ Im (Id E − g ◦ f ).
• Soit z ∈ E.
On a :
z = (Id E − g ◦ f )(z) + g( f (z)).
Et :
(Id E − g ◦ f )(z) ∈ Im (Id E − g ◦ f )
g( f (z)) ∈ Im (g) ⊂ Im (Id E − g ◦ f ),
d'où :
z ∈ Im (Id E − g ◦ f ).
On conclut que Id E − g ◦ f est surjective.
2) La réciproque s'obtient en appliquant 1) au couple (g, f ) à
la place du couple ( f,g).
1.2.2