3.3 • Diagonalisabilité
93
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Exercice-type résolu 3
Exemple de résolution d'une équation matricielle
a) Soient n ∈ N
∗
, A ∈ M n (K ) ayant n valeurs propres λ 1 ,...,λ n deux à deux distinctes, D = diag (λ 1 ,...,λ n ), P ∈ GL n (K ) telle
que A = P D P
−1
.
1) Montrer :
M ∈ M n (K ); AM = M A
=
P N P
−1 ; N ∈ D n (K )
.
2) Soient Q ∈ K [X], M ∈ M n (K ) telle que Q(M) = A. Montrer : P
−1 M P ∈ D n (K ).
b) Exemple : Résoudre l'équation
(1)
X
2 + X =
5 3
1 3
,
d'inconnue X ∈ M 2 (R).
Conseils
Condition suffisante de diagonalisabilité,
cf. § 3.3 Cor. p. 89.
Lorsqu'une matrice diagonale intervient,
on passe aux éléments.
δ i j est le symbole de Kronecker :
δ i j =
1
si i = j
0
si i = j.
λ 1 ,...,λ n sont supposés deux à deux distincts.
On a ainsi déterminé le commutant de A
dans M n (K ).
Les polynômes en M commutent entre
eux.
Solution
a) D'abord, puisque A ∈ M n (K ) et que A admet n valeurs propres deux à deux distinctes, A est diagonalisable dans M n (K ), d'où l'existence de P ∈ GL n (K ) telle
que A = P D P
−1
.
1) Soit M ∈ M n (K ).
Notons N = P
−1 M P, de sorte que M = P N P
−1
.
On a :
AM = M A ⇐⇒ P D P
−1 P N P
−1 = P N P
−1 P D P
−1 ⇐⇒ DN = N D.
Notons N = (n i j ) i j .
On a : D = diag (λ 1 ,...,λ n ) = (δ i j λ i ) i j . D'où :
DN = N D ⇐⇒ ∀ (i, j) ∈ {1,...,n}
2 ,
n
k=1
δ ik λ k n k j =
n
k=1
n ik δ k j λ j
⇐⇒ ∀ (i, j) ∈ {1,...,n}
2 , λ i n i j = n i j λ j
⇐⇒ ∀ (i, j) ∈ {1,...,n}
2 , (λ i − λ j )n i j = 0
⇐⇒ ∀ (i, j) ∈ {1,...,n}
2 ,
i = j ⇒ n i j = 0
⇐⇒ N ∈ D n (K ).
Ceci montre :
M ∈ M n (K ); AM = M A
=
P N P
−1 ; N ∈ D n (K )
.
2) On a : AM = Q(M)M = M Q(M) = M A, donc, d'après a), il existe
N ∈ D n (K ) telle que M = P N P
−1
, ce qui montre P
−1 M P ∈ D n (K ).
b) Notons A =
5 3
1 3
∈ M 2 (R).
On forme le polynôme caractéristique de A :
χ A (λ) =
5 − λ
3
1
3− λ
= (5 − λ)(3 − λ) − 3 = λ
2 − 8λ + 12
= (λ − 2)(λ − 6).
Il en résulte que A admet deux valeurs propres distinctes, donc, d'après a)2), toute
solution de (1) est diagonalisable dans une même base de diagonalisation de A.
On détermine les sous-espaces propres de A.
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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Exercice-type résolu 3
Exemple de résolution d'une équation matricielle
a) Soient n ∈ N
∗
, A ∈ M n (K ) ayant n valeurs propres λ 1 ,...,λ n deux à deux distinctes, D = diag (λ 1 ,...,λ n ), P ∈ GL n (K ) telle
que A = P D P
−1
.
1) Montrer :
M ∈ M n (K ); AM = M A
=
P N P
−1 ; N ∈ D n (K )
.
2) Soient Q ∈ K [X], M ∈ M n (K ) telle que Q(M) = A. Montrer : P
−1 M P ∈ D n (K ).
b) Exemple : Résoudre l'équation
(1)
X
2 + X =
5 3
1 3
,
d'inconnue X ∈ M 2 (R).
Conseils
Condition suffisante de diagonalisabilité,
cf. § 3.3 Cor. p. 89.
Lorsqu'une matrice diagonale intervient,
on passe aux éléments.
δ i j est le symbole de Kronecker :
δ i j =
1
si i = j
0
si i = j.
λ 1 ,...,λ n sont supposés deux à deux distincts.
On a ainsi déterminé le commutant de A
dans M n (K ).
Les polynômes en M commutent entre
eux.
Solution
a) D'abord, puisque A ∈ M n (K ) et que A admet n valeurs propres deux à deux distinctes, A est diagonalisable dans M n (K ), d'où l'existence de P ∈ GL n (K ) telle
que A = P D P
−1
.
1) Soit M ∈ M n (K ).
Notons N = P
−1 M P, de sorte que M = P N P
−1
.
On a :
AM = M A ⇐⇒ P D P
−1 P N P
−1 = P N P
−1 P D P
−1 ⇐⇒ DN = N D.
Notons N = (n i j ) i j .
On a : D = diag (λ 1 ,...,λ n ) = (δ i j λ i ) i j . D'où :
DN = N D ⇐⇒ ∀ (i, j) ∈ {1,...,n}
2 ,
n
k=1
δ ik λ k n k j =
n
k=1
n ik δ k j λ j
⇐⇒ ∀ (i, j) ∈ {1,...,n}
2 , λ i n i j = n i j λ j
⇐⇒ ∀ (i, j) ∈ {1,...,n}
2 , (λ i − λ j )n i j = 0
⇐⇒ ∀ (i, j) ∈ {1,...,n}
2 ,
i = j ⇒ n i j = 0
⇐⇒ N ∈ D n (K ).
Ceci montre :
M ∈ M n (K ); AM = M A
=
P N P
−1 ; N ∈ D n (K )
.
2) On a : AM = Q(M)M = M Q(M) = M A, donc, d'après a), il existe
N ∈ D n (K ) telle que M = P N P
−1
, ce qui montre P
−1 M P ∈ D n (K ).
b) Notons A =
5 3
1 3
∈ M 2 (R).
On forme le polynôme caractéristique de A :
χ A (λ) =
5 − λ
3
1
3− λ
= (5 − λ)(3 − λ) − 3 = λ
2 − 8λ + 12
= (λ − 2)(λ − 6).
Il en résulte que A admet deux valeurs propres distinctes, donc, d'après a)2), toute
solution de (1) est diagonalisable dans une même base de diagonalisation de A.
On détermine les sous-espaces propres de A.