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Chapitre 17 • Expression abstraite d’un modèle
Le nombre n peut être fixé d’avance, comme dans un modèle décrivant une évolution qu’on veut suivre durant n périodes. Il peut aussi être défini par une condition
de convergence qui indique qu’on a trouvé des valeurs validant les règles qui les
définissent. Il s’agit donc d’un procédé de calcul par approximations successives. La
valeur initiale arbitraire est une première valeur choisie comme une solution plausible. Le critère d’arrêt est la stabilisation des valeurs obtenues. En principe, on
cherche une valeur de A telle que
A = f(g(A))
ou, pratiquement, telle que
A i ≈ A i-1
ou encore, si ε est un nombre positif arbitrairement petit,
A i - A i-1 ≤ ε
Le mode opératoire des tableurs modernes permet cependant une expression
condensée de ces règles de récurrence. La formulation semble récursive.
A = f(B)
B = g(A)
Ce modèle sera cependant traité de manière itérative, soit par activation manuelle
(commande explicite de chaque itération), soit par contrôle automatique en mode de
calcul itératif, étant donné une valeur de ε. Chaque itération consiste à calculer la
valeur de A, puis la valeur de B, ce processus étant reconduit autant de fois que
nécessaire.
Considérons un exemple élémentaire. Le montant net N correspondant à un
revenu peut se calculer comme suit : la retenue fiscale R est calculée comme une
proportion p, non pas du montant brut B, mais du net N :
R = p * N
N = B - R
Il est clair que ce modèle linéaire pourrait se simplifier par élimination de R, de sorte
que les règles ne soient plus récursives. On obtiendrait immédiatement N =
833,3333... et R = 166,6666... . Nous conserverons cependant le modèle dans cet état
aux fins de la démonstration.
Supposons que R soit évaluée avant N et posons p = 0,2 et B = 1000. Avant
évaluation, N n’a pas encore de valeur, ce qui peut être assimilé à 0, valeur initiale
arbitraire typique. Après la première évaluation, R vaut 0 (puisque N vaut 0) puis N
est évalué, ce qui lui donne la valeur 1000. Si on exécute à nouveau le modèle, R
vaut alors 200 et N 800. En poursuivant les évaluations de manière itérative, on
obtient les valeurs indiquées dans le tableau ci-dessous :
On observe que les résultats convergent rapidement vers les valeurs exactes.
L’arrêt des calculs sera déterminé soit par un nombre fixe d’itérations (on pourrait
considérer que 8 est un nombre suffisant), soit par une condition de convergence qui
Chapitre 17 • Expression abstraite d’un modèle
Le nombre n peut être fixé d’avance, comme dans un modèle décrivant une évolution qu’on veut suivre durant n périodes. Il peut aussi être défini par une condition
de convergence qui indique qu’on a trouvé des valeurs validant les règles qui les
définissent. Il s’agit donc d’un procédé de calcul par approximations successives. La
valeur initiale arbitraire est une première valeur choisie comme une solution plausible. Le critère d’arrêt est la stabilisation des valeurs obtenues. En principe, on
cherche une valeur de A telle que
A = f(g(A))
ou, pratiquement, telle que
A i ≈ A i-1
ou encore, si ε est un nombre positif arbitrairement petit,
A i - A i-1 ≤ ε
Le mode opératoire des tableurs modernes permet cependant une expression
condensée de ces règles de récurrence. La formulation semble récursive.
A = f(B)
B = g(A)
Ce modèle sera cependant traité de manière itérative, soit par activation manuelle
(commande explicite de chaque itération), soit par contrôle automatique en mode de
calcul itératif, étant donné une valeur de ε. Chaque itération consiste à calculer la
valeur de A, puis la valeur de B, ce processus étant reconduit autant de fois que
nécessaire.
Considérons un exemple élémentaire. Le montant net N correspondant à un
revenu peut se calculer comme suit : la retenue fiscale R est calculée comme une
proportion p, non pas du montant brut B, mais du net N :
R = p * N
N = B - R
Il est clair que ce modèle linéaire pourrait se simplifier par élimination de R, de sorte
que les règles ne soient plus récursives. On obtiendrait immédiatement N =
833,3333... et R = 166,6666... . Nous conserverons cependant le modèle dans cet état
aux fins de la démonstration.
Supposons que R soit évaluée avant N et posons p = 0,2 et B = 1000. Avant
évaluation, N n’a pas encore de valeur, ce qui peut être assimilé à 0, valeur initiale
arbitraire typique. Après la première évaluation, R vaut 0 (puisque N vaut 0) puis N
est évalué, ce qui lui donne la valeur 1000. Si on exécute à nouveau le modèle, R
vaut alors 200 et N 800. En poursuivant les évaluations de manière itérative, on
obtient les valeurs indiquées dans le tableau ci-dessous :
On observe que les résultats convergent rapidement vers les valeurs exactes.
L’arrêt des calculs sera déterminé soit par un nombre fixe d’itérations (on pourrait
considérer que 8 est un nombre suffisant), soit par une condition de convergence qui