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Courbes de Bézier
5. Pour t ∈ [0, 1], on considère la courbe paramétrée d’équations
Q 1 ( t ) =
u ( t ) = t − 1
v ( t ) = 2 − 3 t +6t
2
− 4 t
3 .
v
( t ) = − 3+12 t − 12t
2
= − 3(2t − 1)
2
0pour t ∈ [0, 1], d’où le tableau de variations de la
fonction v :
t
01
v
( t )
−
v ( t ) 2 1
.
On note que sur [0, 1], v est décroissante.
6. On applique la même méthode que précédemment pour déterminer le polygone de contròle
{ c 0 , c 1 , c 2 , c 3 } de Q 1 qui est de degré 3, on ales équations suivantes :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
Q 1 (0) = c 0
Q
1 (0) = 3(c 1 − c 0 )
Q 1 (1) = c 3
Q
1 (1) = 3(c 3 − c 2 )
qui permettent de déduire :
c 0 =
− 1
2
, c 1 =
− 2 / 3
1
, c 2 =
− 1 / 3
2
, c 3 =
0
1
= b 0
8. Plus généralement, on considère un polygone de contrôle { c 0 ,..., c n } avec c i =
u i
v i
où
u i = − 1+i / n et la suite v i est décroissante c’est-à-dire que v i +1 − v i 0pour i = 0 ,...,n − 1.
La courbe de Bézier ap our équation
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
u ( t ) = t − 1
v ( t ) =
n
i = 0
v i B
n
i ( t )
t ∈ [0, 1]. On aa lors v
( t ) =
n
n − 1
i = 0
( v i +1 − v i ) B
n − 1
i
( t ). Sur [0, 1] les B
n − 1
i
sont positives. On en déduit que v
( t ) 0donc v est
décroissante.
La fonction Q 1 permet de montrer que v
0bien que y 2 − y 1 > 0. Il n’y apas de réciproque au
résultat précédent.
9. On a c 3 = b 0 puis b 1 − b 0 = c 3 − c 2 donc le raccord entre les 2courbes est C
1
,par contre
D
2
b 0 = b 2 − 2 b 1 + b 0 =
0
0
et D
2
c 1 = c 3 − 2 c 2 + c 1 =
0
− 12
.Ces valeurs différentes montrent
queleraccord n’est pas C
2
.Onpouvait aussi comparer y
(0)et v
(1).