Corrigés desexercices
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7.4 Contraintes de formes
1. Pour t ∈ [0, 1], on considère la courbe paramétrée d’équations
P 1 ( t ) =
x ( t ) = t
y ( t ) = 1 − 3 t +9t
3 .
On remarque que cette courbe est le graphe d’une fonction y = w ( x ).
y
( t ) = − 3+27 t
2
= 3(3t − 1)(3t +1), d’où le tableau de variations de la fonction y :
t
01 / 31
y
( t )
−
0+
y ( t ) 1 1 / 3 7
.
On note que sur [0, 1], y ( t ) 1 / 3 > 0.
2. On rappelle que pour déterminer le polygone de contrôle { b 0 , b 1 , b 2 , b 3 } de P 1 qui est de
degré 3, on ales équations suivantes :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
P 1 (0) = b 0
P
1 (0) = 3(b 1 − b 0 )
P 1 (1) = b 3
P
1 (1) = 3(b 3 − b 2 )
qui permettent de déduire :
b 0 =
0
1
, b 1 =
1 / 3
0
, b 2 =
2 / 3
− 1
, b 3 =
1
7
4. Plus généralement, on considère un polygone de contrôle { b 0 ,...,b n } avec b i =
x i
y i
où
x i = i / n et y i > 0.
La courbe de Bézier apour équation
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x ( t ) = t
y ( t ) =
n
i = 0
y i B
n
i ( t )
t ∈ [0, 1]. Sachant que sur [0, 1] les
B
n
i sont positives, on en déduit que y ( t ) 0. En fait cette inégalité est stricte car les fonctions B
n
i
se s’annulent pas toutes au même t puisque
n
i = 0
B
n
i ( t ) = 1
La fonction P 1 permet de montrer que y ( t ) > 0bien que y 2 < 0. Il n’y apas de réciproque au
résultat précédent.
 Dunod –Laphotocopie non autorisée est un délit