Corrigés desexercices
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Àlaligne 2, on aposé successivement k = j puis k = j +1.
La démonstration est ainsi terminée. On aalors la courbe de Bézier sous la forme explicite
b
n
( t ) = b
n
0 ( t ) =
n
j = 0
b j B
n
j ( t ) .
4. Pour n 1et i ∈{1 ,...,n − 1 } ,
dB
n
i
dt
( t ) = i
n
i
t
i − 1
(1 − t )
n − i
− ( n − i )
n
i
t
i
(1 − t )
n − i − 1
= n
( n − 1)!
( i − 1)!(n − 1 − i +1)!
t
i − 1
(1 − t )
n − 1 − i +1
− n
( n − 1)!
i !(n − 1 − i )!
t
i − 1
(1 − t )
n − 1 − i
= n ( B
n − 1
i − 1 ( t ) − B
n − 1
i
( t ))
Pour i = 0ou i = n ,ladémonstration se simplifie car B
n − 1
− 1 ( t ) = 0puis B
n − 1
n
( t ) = 0etpour
i /∈{0 ,...,n } ,tous les termes sont nuls.
On peut donc conclure que pour n 1et i ∈ Z ,
dB
n
i
dt
( t ) = n ( B
n − 1
i − 1 ( t ) − B
n − 1
i
( t ))
Puisque B
n − 1
− 1 = B
n − 1
n
= 0, on en déduit que
db
n
dt
( t ) =
n
j = 0
b j
B
n
j
dt
( t ) = n
n
j = 0
b j ( B
n − 1
j − 1 ( t ) − B
n − 1
j
( t ))
= n
n − 1
k = 0
b k +1 ( B
n − 1
k
( t ) −
n − 1
k = 0
b k ( B
n − 1
k
( t )
= n
n − 1
k = 0
D b k B
n − 1
k
( t )
avec D b k = b k +1 − b k .
L’hodographe est une courbe de Bézier de polygone de contrôle { n D b 0 ,...,n D b n − 1 } .
Parrécurrence, pour p = 1 ,...,n ,
d
p
b
n
dt p ( t ) =
n !
( n − p )!
n − p
k = 0
D
p
b k B
n − p
k
( t )où D
p
b k = D
p − 1
b k +1 −
D
p − 1
b k .
7.3 Raccords entredes courbes
1. On considère le polygone de contrôle formé des 4points a i , i = 0 , ··· , 3suivants :
a 0 = ( − 1 , 0), a 1 = ( − 1 , 1), a 2 = (1, 0), a 3 = (1, 1).
 Dunod –Laphotocopie non autorisée est un délit