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Courbes de Bézier
Si i ∈{1 ,...,n − 1 } ,
(1 − t ) B
n − 1
i
( t )+tB
n − 1
i − 1 ( t ) = (1 − t )
n − 1
i
t
i
(1 − t )
n − 1 − i
+ t
n − 1
i − 1
t
i − 1
(1 − t )
n − 1 − i +1
=
n − 1
i
+
n − 1
i − 1
t
i
(1 − t )
n − i
=
n
i
t
i
(1 − t )
n − i
= B
n
i ( t ) .
2. (a) et (b) sont élémentaires et
n
i = 0
B
n
i ( t ) = [ t +(1 − t )]
n
= 1(Formule de Newton).
Sachant que ( x + y )
n
=
n
i = 0
n
i
x
i
y
n − i
,endérivant par rapport à x ,puis en multipliant par x ,il
vient : nx( x + y )
n − 1
=
n
i = 1
i
n
i
x
i
y
n − i
.Onprend ensuite x = t , y = 1 − t ,ondivise par n et
on commence la somme à i = 0. On obtient t =
n
i = 0
i
i
n
B
n
i ( t ). On aainsi écrit le polynôme t dans
la base de Bernstein.
3. Soit { b 0 ,...,b n } un polygone de E .N ous allons montrer par récurrence finie sur r =
0 ,...,n que pour tout t ∈ [0, 1], b
r
i ( t ) =
r
j = 0
b i + j B
r
j ( t )pour i = 0 ,...,n − r .
Pour r = 0, par définition, b
0
i ( t ) = b i =
0
j = 0
b i + j B
0
j ( t ).
Supposonsque pour r 1, b
r − 1
i
( t ) =
r − 1
j = 0
b i + j B
r − 1
j
( t )pour i = 0 ,...,n − r +1,rappelons que
b
r
i ( t ) = (1 − t ) b
r − 1
i
( t )+tb
r − 1
i +1 ( t ), pour i = 0 ,...,n − r ,sibien que
b
r
i ( t ) = (1 − t )
r − 1
j = 0
b i + j B
r − 1
j
( t )+t
r − 1
j = 0
b i +1+ j B
r − 1
j
( t )
= b i (1 − t ) B
r − 1
0
( t )+
r − 1
k = 1
b i + k
(1 − t ) B
r − 1
k
( t )+tB
r − 1
k − 1 ( t )
+ b i + r tB
r − 1
r − 1 ( t )
= b i B
r
0 ( t )+
r − 1
k = 1
b i + k B
t
k ( t )+b i + r B
r
r ( t ) =
r
k = 0
b i + k B
t
k ( t )