92
7
•
Courbes de Bézier
Enfin, citons le théorème de Weierstrass dont une élégante démonstration est donnée dans [28]
Théorème : Soit f une fonction continue de [ a , b ] dans E = R
d
.Ondéfinit la suite de polynômes
f n ( x ) =
n
i = 0
f ( i / n ) B
n
i ( t ) où t =
x − a
b − a
.Alorslasuite ( f n ) converge uniformément versfi.e.
lim
n → + ∞
sup
x ∈ [ a , b ]
| f ( x ) − f n ( x ) | = 0 .
7.3 Raccords entredes courbes
On se placedans un repère orthonormé du plan et l’on considère le polygone de contrôle formé
des pointss uivants : a 0 ( − 1 , 0), a 1 ( − 1 , 1), a 2 (1, 0), a 3 (1, 1). On construit la courbe de Bézier
correspondante P 3 ( t ) = B ( a 0 , a 1 , a 2 , a 3 , t )pour t ∈ [0, 1].
1. Déterminer le polygone de contrôle de P
3 ( t )puis celui de P
3 ( t ). Préciser l’allure du graphe
de P
3 ( t ).
2. On veut prolonger la courbe P 3 avec un raccord C
1
en une courbe de Bézier : Q 2 ( t ) =
B ( b 0 , b 1 , b 2 , t )où b 0 = a 3 et b 2 (3, 0). Déterminer les coordonnées de b 1 .
3. On veut cette fois un prolongement C
2
de l’autre côté de la courbe initiale par une courbede
Bézier : R 3 ( t ) = B ( c 0 , c 1 , c 2 , c 3 , t )où c 0 (3, 0) = b 2 et c 3 = a 0 .Déterminer les coordonnées de c 1
et c 2 .
4. Construire tous les points a i , b j , c k ainsi que les 3courbes P 3 , Q 2 , R 3 .
7.4 Contraintes de formes
Pour t ∈ [0, 1], on considère les 2courbes paramétrées d’équations
P 1 ( t ) =
x ( t ) = t
y ( t ) = 1 − 3 t +9t
3 , Q 1 ( t ) =
u ( t ) = t − 1
v ( t ) = 2 − 3 t +6t
2
− 4 t
3 .
1. É tudier les variations de la fonction y et montrer que cette fonction eststrictement positive
pour t ∈ [0, 1].
2. Déterminer le polygone de contrôle { b 0 , b 1 , b 2 , b 3 } de la courbe P 1 ( t )interprétée comme
une courbe de Bézier.Si b i =
x i
y i
,onrappelle que x 0 = 0 , x 1 = 1 / 3 , x 2 = 2 / 3 , x 3 = 1. Pour
déterminer les y i ,onpourra calculer les valeurs de y et y
en 0et1.
3. Dessiner courbe et polygone de contrôle de P .
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Courbes de Bézier
Enfin, citons le théorème de Weierstrass dont une élégante démonstration est donnée dans [28]
Théorème : Soit f une fonction continue de [ a , b ] dans E = R
d
.Ondéfinit la suite de polynômes
f n ( x ) =
n
i = 0
f ( i / n ) B
n
i ( t ) où t =
x − a
b − a
.Alorslasuite ( f n ) converge uniformément versfi.e.
lim
n → + ∞
sup
x ∈ [ a , b ]
| f ( x ) − f n ( x ) | = 0 .
7.3 Raccords entredes courbes
On se placedans un repère orthonormé du plan et l’on considère le polygone de contrôle formé
des pointss uivants : a 0 ( − 1 , 0), a 1 ( − 1 , 1), a 2 (1, 0), a 3 (1, 1). On construit la courbe de Bézier
correspondante P 3 ( t ) = B ( a 0 , a 1 , a 2 , a 3 , t )pour t ∈ [0, 1].
1. Déterminer le polygone de contrôle de P
3 ( t )puis celui de P
3 ( t ). Préciser l’allure du graphe
de P
3 ( t ).
2. On veut prolonger la courbe P 3 avec un raccord C
1
en une courbe de Bézier : Q 2 ( t ) =
B ( b 0 , b 1 , b 2 , t )où b 0 = a 3 et b 2 (3, 0). Déterminer les coordonnées de b 1 .
3. On veut cette fois un prolongement C
2
de l’autre côté de la courbe initiale par une courbede
Bézier : R 3 ( t ) = B ( c 0 , c 1 , c 2 , c 3 , t )où c 0 (3, 0) = b 2 et c 3 = a 0 .Déterminer les coordonnées de c 1
et c 2 .
4. Construire tous les points a i , b j , c k ainsi que les 3courbes P 3 , Q 2 , R 3 .
7.4 Contraintes de formes
Pour t ∈ [0, 1], on considère les 2courbes paramétrées d’équations
P 1 ( t ) =
x ( t ) = t
y ( t ) = 1 − 3 t +9t
3 , Q 1 ( t ) =
u ( t ) = t − 1
v ( t ) = 2 − 3 t +6t
2
− 4 t
3 .
1. É tudier les variations de la fonction y et montrer que cette fonction eststrictement positive
pour t ∈ [0, 1].
2. Déterminer le polygone de contrôle { b 0 , b 1 , b 2 , b 3 } de la courbe P 1 ( t )interprétée comme
une courbe de Bézier.Si b i =
x i
y i
,onrappelle que x 0 = 0 , x 1 = 1 / 3 , x 2 = 2 / 3 , x 3 = 1. Pour
déterminer les y i ,onpourra calculer les valeurs de y et y
en 0et1.
3. Dessiner courbe et polygone de contrôle de P .