Énoncés des exercices
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7.2 Polynômes de Bernstein
Pour n entier positif et
n
i
=
n !
( n − i )!i !
,ondéfinit les polynômes de Bernstein
B
n
i ( t ) =
n
i
t
i
(1 − t )
n − i
, pour i = 0 ,...,n
B
n
i ( t ) = 0 , pour i /∈{0 ,...,n }
1. Montrerque les B
n
i , i = 0 ,..., n forment une base de P n ,puis que
B
n
i ( t ) = (1 − t ) B
n − 1
i
( t )+tB
n − 1
i − 1 ( t ) , n 1 , i ∈ Z .
(7.1)
2. Montrer que
(a) B
n
i ( t ) 0pour t ∈ [0, 1],
(b) B
n
i ( t ) = B
n
n − i (1 − t ),
(c)
n
i = 0
B
n
i ( t ) = 1et
n
i = 0
i
n
B
n
i ( t ) = t .
Soit { b 0 ,...,b n } un polygone de E .Nous allons établir le lien entre la courbe de Bézier et les
polynômesdeBernstein.
3. Montrer que pour t ∈ [0, 1] et pour r = 0 ,..., n , b
r
i ( t ) =
r
j = 0
b i + j B
r
j ( t ) , i = 0 ,...,n − r
en particulier :
b
n
( t ) = b
n
0 ( t ) =
n
j = 0
b j B
n
j ( t ) .
(7.2)
4. Montrer que
dB
n
i
dt
( t ) = n
B
n − 1
i − 1 ( t ) − B
n − 1
i
( t )
pour n 1et i ∈ Z .Endéduire
db
n
dt
( t )en
fonction des D b i = b i +1 − b i ,puis déterminer
d
p
b
n
dt p ( t ). On montrera :
db
n
dt
( t ) =
n − 1
k = 0
D b k B
n − 1
k
( t )avec D b k = b k +1 − b k .
(7.3)
d
p
b
n
dt p ( t ) =
n !
( n − p )!
n − p
k = 0
D
p
b k B
n − p
k
( t )où D
p
b k = D
p − 1
b k +1 − D
p − 1
b k .
(7.4)
 Dunod –Laphotocopie non autorisée est un délit