54
5
•
Valeurs approchées d’intégrales
de Lagrange.Si J ( f ) =
1
− 1
p M − 1 ( t ) dt alors la méthode est d’ordre 2 M − 1. Exemple pour
M = 2, J ( g ) = g ( − 1 /
√
3) + g (1/
√
3), méthode d’ordre 3.
En posant g ( t ) = f
a + b
2
+ t
b − a
2
, J ( g )est une approximation de
b
a
f ( t ) dt.
Méthodes composées : Soit f une fonction continue sur [ a , b ]. Soit a = x 0 <... < x n = b une
subdivision de [ a , b ]et h i = x i +1 − x i .Onapproche
x i +1
x i
f ( t ) dt par une formule de quadrature
élémentaire J ( g ) =
M
j = 1
a j g ( t j )o ù g ( t ) = f
x i + x i +1
2
+ h i
t
2
.A insi I ( f ) =
b
a
f ( t ) dt est
approché par
Iapp( f ) =
n − 1
i = 0
h i
M
j = 1
a j f
x i + x i +1
2
+ h i
t j
2
.
Si on note E ( f ) = | Iapp( f ) − I ( f ) | ,silaméthode de quadrature élémentaire est d’ordre r ,si
f ∈C
r +1
([a , b ]) alors
E ( f ) C r ( b − a ) h
r +1
M r +1 où h = max h i , M r +1 = max
t ∈ [ a , b ]
| f
( r +1)
( t ) | .
Quelques méthodes usuelles àpas constant, h = ( b − a ) / n et x i = a + ih.Soit x i +1/ 2 =
x i + x i +1
2
.
1. Point milieu, Iapp( f ) = h
n − 1
i = 0
f ( x i +1/ 2 ), E ( f )
( b − a )
3
24n 2 M 2 =
( b − a )
24n 2 M 2 ,
2. Trapèzes, Iapp( f ) =
h
2
f ( x 0 )+2
n − 1
i = 1
f ( x i )+ f ( x n )
, E ( f )
( b − a )
3
12n 2 M 2 ,
3. Simpson, Iapp( f ) =
h
6
f ( x 0 )+2
n − 1
i = 1
f ( x i )+ f ( x n )+4
n − 1
i = 0
f ( x i +1/ 2 )
, E ( f )
( b − a )
5
180n 4 M 4 .
Les commandes Matlab usuelles pour le calcul d’intégralessont quad et quadl . À noter que si
nous utilisons quad pour intégrer la fonction «irrégulière » f 0 définie par f 0 ( x ) = | x − 1 / 3 | sur
[0, 1], le résultat proposé est 0.27777745031875 pour une valeur exacte de 5 / 18 et donc une
erreur relative d’environ 3 . 10
− 7
.A vec quadl,nous obtenons respectivement 0.27777768862790
et 9 . 10
− 8
.Onpeut évidemment améliorer ces résultats en modifiant la tolérance qui est de 10
− 6
par défaut. Consulter l’aide en ligne.
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Valeurs approchées d’intégrales
de Lagrange.Si J ( f ) =
1
− 1
p M − 1 ( t ) dt alors la méthode est d’ordre 2 M − 1. Exemple pour
M = 2, J ( g ) = g ( − 1 /
√
3) + g (1/
√
3), méthode d’ordre 3.
En posant g ( t ) = f
a + b
2
+ t
b − a
2
, J ( g )est une approximation de
b
a
f ( t ) dt.
Méthodes composées : Soit f une fonction continue sur [ a , b ]. Soit a = x 0 <... < x n = b une
subdivision de [ a , b ]et h i = x i +1 − x i .Onapproche
x i +1
x i
f ( t ) dt par une formule de quadrature
élémentaire J ( g ) =
M
j = 1
a j g ( t j )o ù g ( t ) = f
x i + x i +1
2
+ h i
t
2
.A insi I ( f ) =
b
a
f ( t ) dt est
approché par
Iapp( f ) =
n − 1
i = 0
h i
M
j = 1
a j f
x i + x i +1
2
+ h i
t j
2
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Si on note E ( f ) = | Iapp( f ) − I ( f ) | ,silaméthode de quadrature élémentaire est d’ordre r ,si
f ∈C
r +1
([a , b ]) alors
E ( f ) C r ( b − a ) h
r +1
M r +1 où h = max h i , M r +1 = max
t ∈ [ a , b ]
| f
( r +1)
( t ) | .
Quelques méthodes usuelles àpas constant, h = ( b − a ) / n et x i = a + ih.Soit x i +1/ 2 =
x i + x i +1
2
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1. Point milieu, Iapp( f ) = h
n − 1
i = 0
f ( x i +1/ 2 ), E ( f )
( b − a )
3
24n 2 M 2 =
( b − a )
24n 2 M 2 ,
2. Trapèzes, Iapp( f ) =
h
2
f ( x 0 )+2
n − 1
i = 1
f ( x i )+ f ( x n )
, E ( f )
( b − a )
3
12n 2 M 2 ,
3. Simpson, Iapp( f ) =
h
6
f ( x 0 )+2
n − 1
i = 1
f ( x i )+ f ( x n )+4
n − 1
i = 0
f ( x i +1/ 2 )
, E ( f )
( b − a )
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180n 4 M 4 .
Les commandes Matlab usuelles pour le calcul d’intégralessont quad et quadl . À noter que si
nous utilisons quad pour intégrer la fonction «irrégulière » f 0 définie par f 0 ( x ) = | x − 1 / 3 | sur
[0, 1], le résultat proposé est 0.27777745031875 pour une valeur exacte de 5 / 18 et donc une
erreur relative d’environ 3 . 10
− 7
.A vec quadl,nous obtenons respectivement 0.27777768862790
et 9 . 10
− 8
.Onpeut évidemment améliorer ces résultats en modifiant la tolérance qui est de 10
− 6
par défaut. Consulter l’aide en ligne.