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Valeurs approchées
d’intégrales
RAPPEL DE COURS
Méthodes de quadratureélémentaire: Soit f une fonction continue sur [ − 1 , 1]. Soient − 1
t 1 < t 2 <...t M 1, M points distincts de [ − 1 , 1] et { a j } j = 1 ,..., M , M poids. La valeur approchée
de I ( f ) =
1
− 1
f ( t ) dt est définie par J ( f ) =
M
j = 1
a j f ( t j ). Notons l’erreur E ( f ) = | I ( f ) − J ( f ) | .
La méthode est d’ordre r si pour tout p ∈ P r ,onaI ( p ) = J ( p ). Dans ce cas, pour f ∈C
r +1
,en
notant M r +1 = max
t ∈ [ − 1 , 1]
| f
( r +1)
( t ) | ,onobtient
E ( f )
M r +1
r !
c r où c r ne dépend pas de f .
Vo ici quelques méthodes usuelles.
1. Pointmilieu, méthode d’ordre 1, J ( f ) = 2 f (0), E ( f )
1
3
M 2 ,
2. Lesformules de Newton-Cotes :oninterpole f aux points t i = − 1+2i / k , i = 0 ,...,k par p k ,
le polynôme de Lagrange et J ( f ) =
1
− 1
p k ( t ) dt =
n
j = 0
a j f ( t j )(cf exercice 5.1), la méthode
est d’ordre k si k est impair et d’ordre k +1si k est pair.Ainsi :
3. Trapèzes, méthode d’ordre 1, J ( f ) = f ( − 1) + f (1), E ( f )
2
3
M 2 ,
4. Simpson, méthode d’ordre 3, J ( f ) =
1
3
( f ( − 1) +4f (0) + f (1)), E ( f )
16
45
M 4 ,
5. Lesformules de Gauss-Legendre :pour M entier,lepolynôme L M ( x ) =
d
M
dt M ( t
2
− 1)
M
admet
M racines distinctes t i et t i ∈ ] − 1 , 1[. On interpole f aux points t i par p M − 1 ,lepolynôme