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4
•
Interpolation polynômiale
dominante stricte, cette inégalité est impossible. Donc0n’est pasvaleur propre de A et alors A
est inversible. Le système AY
= b admet bien une solution unique.
5. Nous supposons cette fois que y
0 et y
n sont inconnues. Il s’agit donc d’introduire deux
équations supplémentaires dans le système précédent. Graphiquement des propositions comme
y
0 = 0et y
n = 0ou y
0 = 0et y
n = 0nesont pas satisfaisantes. Parailleurs, on perd l’erreur
d’approximationen h
4
.Onpourra s’en rendre compte numériquement. En introduisantles deux
conditions de continuité C
3
aux points x 1 et x n − 1 ,onvavoir que le système garde une solution
unique. Parailleurs l’étude numérique àsuivre montrera que l’erreur reste en h
4
.
Nous reprenons la méthode utilisée précédemment en calculant les dérivées 3ièmes des fonctions
de la première question : B
(3)
0 ( t ) = − 6, B
(3)
1 ( t ) = 18, B
(3)
2 ( t ) = − 18, B
(3)
3 ( t ) = 6, si bien que
d
3
p
dx 3 ( x ) =
6
h 3 ( − a 0 +3a 1 − 3 a 2 + a 3 ). Si nous écrivons que S
(3)
( x 1 + ) = S
(3)
( x 1 − ), comme dans
la quatrième question, nous obtenons
− a
i
0 +3a
i
1 − 3 a
i
2 + a
i
3 = − a
i − 1
0
+3a
i − 1
1
− 3 a
i − 1
2
+ a
i − 1
3
⇔− y 1 +3( y 1 +
h
3
y
1 ) − 3(y 2 −
h
3
y
2 )+y 2 = − y 0 +3( y 0 +
h
3
y
0 ) − 3(y 1 −
h
3
y
1 )+y 1
⇔ y
0 − y
2 =
2
h
(2y 1 − y 0 − y 2 ) .
En écrivant y
0 en fonction des autres données et en l’introduisant dans l’équation
y
0 +4y
1 + y
2 =
3
h
( y 2 − y 0 ), on obtient l’équation :
4 y
1 +2y
2 =
1
h
( − 4 y 1 − y 0 +5y 2 ) .
De la même façon, les continuités C
2
et C
3
en x n − 1 donnent les 2équations
y
n − 2 − y
n = −
2
h
( y n − 2 − 2 y n − 1 + y n )e t4 y
n − 1 +2y
n − 2 =
1
h
( − 5 y n − 2 +4y n − 1 + y n ).
D’où le systèmeproposé en (4.3).
6. É tude numérique d’erreur pour les splines. Programmer un fichier f1.m contenant la fonction f .