Corrigés desexercices
49
En écrivant S
( x i + ) = S
( x i − ), il vient :
y
i − 1 +4y
i + y
i +1 =
3
h
( y i +1 − y i − 1 ) , i = 1 ,...,n − 1 ,
soit le système AY
= b où Y
= ( y
1 ,...,y
n − 1 )
T
est l’inconnue et
A =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
41
0 ... ... 0
14
10 ...
. . .
0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . 0
. . .
. . . 014 1
0 ... ... 01 4
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
, b =
3
h
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
y 2 − y 0
y 3 − y 1
. . .
. . .
y n − 1 − y n − 3
y n − y n − 2
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
−
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
y
0
0
. . .
. . .
0
y
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
A est tridiagonale et àdiagonale dominante stricte.
Nous laissons le lecteur montrer que la condition AY
= b est suffisante.
Il resteàm ontrer que le système admet une solution unique. Pour cela nous allons montrer la
propositionplus générale qui localise les valeurs propres d’une matrice carrée M ∈ C
k × k
.
Soit l une valeur propre de M = ( m ij )et X = 0unvecteur propre correspondant. Appelons i un
indice telque | x i | = max
j = 1 ,..., k
{|x j |}. x i = 0car X = 0. Nous avons l x i =
k
i = 1
m ij x j donc
| l − m ii |×|x i | =
k
j = 1 , j = i
m ij x j
k
j = 1 , j = i
| m ij ||x j | ,
soit en divisant par | x i | qui est non nul, | l − m ii |
k
j = 1 , j = i
| m ij |
| x j |
| x i |
.Ilreste àremarquer que
| x j | | x i | pour conclure que
| l − m ii |
k
j = 1 , j = i
| m ij |⇔l ∈ D i .
Comme l’indice i n’est pas connu, la conclusion est l ∈
k
i = 1
D i .
Si 0est une valeur propre de A ,alors il existe un indice i tel que 0 ∈ D i où D i est le disque de
centre a ii de rayon
n − 1
j = 1 , j = i
| a ij | ,c’est dire que | 0 − a ii |
n − 1
j = 1 , j = i
| a ij | .Puisque A est àdiagonale
 Dunod –Laphotocopie non autorisée est un délit