30
4
•
Interpolation polynômiale
Si y i = f ( x i )pour i = 0 ,...,n ,et y
0 = f
( x 0 ), y
n = f
( x n )où f est une fonction de C
4
([a , b ]),
alors pour tout xd e [ a , b ] , | S ( x ) − f ( x ) | max
t ∈ [ a , b ]
f
(4)
( t )
5 h
4
384
où h = max(x i +1 − x i ) .
Matlab proposeuncertain nombre de méthodes pour réaliser l’interpolation de données. É tant
donnés deux tableaux x et y ,abscisses et ordonnées, l’instruction interp1 détermine l’interpolé
auxp oints du tableau x par plusieurs méthodes. L’aide en ligne précise les choix de method.
On pourra aussi utiliser l’instruction yy =s pline(x,y,xx) basée sur une spline cubique not a
knot proposée par [ 7 ]etdécrite dans l’exercice 4.4. La fonction interp2 permet de réaliser des
interpolations en dim 2.
ÉNONCÉSDES EXERCICES
Dans ce chapitre, après un exercice de changement de base qui permet de retrouver les matrices,
nous étudions l’interpolationdeLagrange et deux bases de polynômes sont proposées :Lagrange
et Newton.Ensuite, nous étudions l’erreur d’approximation. Le phénomène de Runge permet de
visualiser la différence entreinterpolation (on impose de passer par un certain nombre de points)
et approximation(on cherche une approche globale). Dans la partie suivante, nous proposons une
méthoden umérique pour une dérivation approchée. Nous étudions ensuite la construction des
splines cubiques avec une étude numérique de l’erreur.
4.1 Changement de base
Nousétudions trois bases de P 3 .Sur [0, 1], nous définissons B
3
0 ( t ) = (1 − t )
3
, B
3
1 ( t ) = 3 t (1 − t )
2
,
B
3
2 ( t ) = 3 t
2
(1 − t ), B
3
3 ( t ) = t
3
.
1. Montrer que { B
3
i } i = 0 , 1 , 2 , 3 forme une base de P 3 .C’est la base de Bernstein de degré 3.
2. Montrer qu’on peut définirq uatre fonctions polynômiale H
3
i ( t )i nterpolant les données
d’Hermite au bords :
H
3
0 (0) = 1 , ( H
3
0 )
(0) = 0 , ( H
3
0 )
(1) = 0 , H
3
0 (1) = 0 ,
H
3
1 (0) = 0 , ( H
3
1 )
(0) = 1 , ( H
3
1 )
(1) = 0 , H
3
1 (1) = 0 ,
H
3
2 (0) = 0 , ( H
3
2 )
(0) = 0 , ( H
3
2 )
(1) = 1 , H
3
2 (1) = 0 ,
H
3
3 (0) = 0 , ( H
3
3 )
(0) = 0 , ( H
3
3 )
(1) = 0 , H
3
0 (1) = 1 .
3. Montrer que { H
3
i } i = 0 , 1 , 2 , 3 forme une base de P 3 (base d’Hermite).
4. Déterminer l’interpolant d’Hermite des 4données f (0), f
(0), f
(1), f (1).
4
•
Interpolation polynômiale
Si y i = f ( x i )pour i = 0 ,...,n ,et y
0 = f
( x 0 ), y
n = f
( x n )où f est une fonction de C
4
([a , b ]),
alors pour tout xd e [ a , b ] , | S ( x ) − f ( x ) | max
t ∈ [ a , b ]
f
(4)
( t )
5 h
4
384
où h = max(x i +1 − x i ) .
Matlab proposeuncertain nombre de méthodes pour réaliser l’interpolation de données. É tant
donnés deux tableaux x et y ,abscisses et ordonnées, l’instruction interp1 détermine l’interpolé
auxp oints du tableau x par plusieurs méthodes. L’aide en ligne précise les choix de method.
On pourra aussi utiliser l’instruction yy =s pline(x,y,xx) basée sur une spline cubique not a
knot proposée par [ 7 ]etdécrite dans l’exercice 4.4. La fonction interp2 permet de réaliser des
interpolations en dim 2.
ÉNONCÉSDES EXERCICES
Dans ce chapitre, après un exercice de changement de base qui permet de retrouver les matrices,
nous étudions l’interpolationdeLagrange et deux bases de polynômes sont proposées :Lagrange
et Newton.Ensuite, nous étudions l’erreur d’approximation. Le phénomène de Runge permet de
visualiser la différence entreinterpolation (on impose de passer par un certain nombre de points)
et approximation(on cherche une approche globale). Dans la partie suivante, nous proposons une
méthoden umérique pour une dérivation approchée. Nous étudions ensuite la construction des
splines cubiques avec une étude numérique de l’erreur.
4.1 Changement de base
Nousétudions trois bases de P 3 .Sur [0, 1], nous définissons B
3
0 ( t ) = (1 − t )
3
, B
3
1 ( t ) = 3 t (1 − t )
2
,
B
3
2 ( t ) = 3 t
2
(1 − t ), B
3
3 ( t ) = t
3
.
1. Montrer que { B
3
i } i = 0 , 1 , 2 , 3 forme une base de P 3 .C’est la base de Bernstein de degré 3.
2. Montrer qu’on peut définirq uatre fonctions polynômiale H
3
i ( t )i nterpolant les données
d’Hermite au bords :
H
3
0 (0) = 1 , ( H
3
0 )
(0) = 0 , ( H
3
0 )
(1) = 0 , H
3
0 (1) = 0 ,
H
3
1 (0) = 0 , ( H
3
1 )
(0) = 1 , ( H
3
1 )
(1) = 0 , H
3
1 (1) = 0 ,
H
3
2 (0) = 0 , ( H
3
2 )
(0) = 0 , ( H
3
2 )
(1) = 1 , H
3
2 (1) = 0 ,
H
3
3 (0) = 0 , ( H
3
3 )
(0) = 0 , ( H
3
3 )
(1) = 0 , H
3
0 (1) = 1 .
3. Montrer que { H
3
i } i = 0 , 1 , 2 , 3 forme une base de P 3 (base d’Hermite).
4. Déterminer l’interpolant d’Hermite des 4données f (0), f
(0), f
(1), f (1).