4
Interpolation polynômiale
RAPPEL DE COURS
É tant donnés n +1couples de réels ( x i , y i ), il s’agit de trouver une fonction f telle que f ( x i ) = y i
pour i = 0 ,...,n . f peut être un polynôme (Interpolation de Lagrange), un polynôme trigonométrique ou unefonction régulière polynômiale par morceaux (spline). On désigne par P k l’espace
des polynômes de degré inférieur ou égal à k ainsi que l’espace des fonctions polynômiales
correspondantes.
Interpolation de Lagrange : Soient x 0 < x 2 <... < x n , n +1réels distincts et n +1réels y i . Il
existe un unique polynôme p ∈ P n tel que p ( x i ) = y i pour i = 0 ,...,n.
On suppose que y i = f ( x i )où f est une fonction définie et de classe C
n +1
sur un intervalle fermé
I = [ a , b ]contenant tous les x i .Soit x ∈ I .Alors il existe j appartenant au plus petit intervalle
ouvert contenant xe tles x i tel que
f ( x ) − p ( x ) =
1
( n +1)!
n
j = 0
( x − x j ) f
( n +1)
( j )
Ces résultats ainsi que l’expression de p dans deux bases de polynômes sont montrés dans
l’exercice 4.2.
Interpolation d’Hermite : Soient x 0 ,..., x k , k +1réels distincts d’un intervalle [ a , b ]; on se
donne k +1entier naturels a 0 ,...,a k et on pose n = k + a 0 + ...+ a k .Si f est une fonction
définiesur [ a , b ]admettant des dérivées d’ordre a i aux points x i , il existe un unique polynôme
p ∈ P n tel que p
( j )
( x i ) = f
( j )
( x i ) pour i = 0 ,...,n et j = 0 ,...,a j .S i f ∈C
n +1
([a , b ]) et
x ∈ [ a , b ] ,alorsilexiste j appartenant au plus petit intervalle ouvert contenant x et les x i tel que
f ( x ) − p ( x ) =
1
( n +1)!
P n ( x ) f
( n +1)
( j ) , où P n ( x ) =
k
i = 0
( x − x i )
a i +1
Splinescubiques de classe C
2
: Soient a = x 0 < x 2 <. .. < x n = b , n +1réels distincts. Pour
toutensemble de n +3données y
0 , y 0 ,..., y n , y
n , il existe une unique fonction Sde
P
2
3 =
f ∈C
2
([a , b ]) : f [ x i , x i +1 ] ∈ P 3 , 0 i n − 1
vérifiant :
S ( x i ) = y i , 0 i n , S
( x 0 ) = y
0 , S
( x n ) = y
n
Interpolation polynômiale
RAPPEL DE COURS
É tant donnés n +1couples de réels ( x i , y i ), il s’agit de trouver une fonction f telle que f ( x i ) = y i
pour i = 0 ,...,n . f peut être un polynôme (Interpolation de Lagrange), un polynôme trigonométrique ou unefonction régulière polynômiale par morceaux (spline). On désigne par P k l’espace
des polynômes de degré inférieur ou égal à k ainsi que l’espace des fonctions polynômiales
correspondantes.
Interpolation de Lagrange : Soient x 0 < x 2 <... < x n , n +1réels distincts et n +1réels y i . Il
existe un unique polynôme p ∈ P n tel que p ( x i ) = y i pour i = 0 ,...,n.
On suppose que y i = f ( x i )où f est une fonction définie et de classe C
n +1
sur un intervalle fermé
I = [ a , b ]contenant tous les x i .Soit x ∈ I .Alors il existe j appartenant au plus petit intervalle
ouvert contenant xe tles x i tel que
f ( x ) − p ( x ) =
1
( n +1)!
n
j = 0
( x − x j ) f
( n +1)
( j )
Ces résultats ainsi que l’expression de p dans deux bases de polynômes sont montrés dans
l’exercice 4.2.
Interpolation d’Hermite : Soient x 0 ,..., x k , k +1réels distincts d’un intervalle [ a , b ]; on se
donne k +1entier naturels a 0 ,...,a k et on pose n = k + a 0 + ...+ a k .Si f est une fonction
définiesur [ a , b ]admettant des dérivées d’ordre a i aux points x i , il existe un unique polynôme
p ∈ P n tel que p
( j )
( x i ) = f
( j )
( x i ) pour i = 0 ,...,n et j = 0 ,...,a j .S i f ∈C
n +1
([a , b ]) et
x ∈ [ a , b ] ,alorsilexiste j appartenant au plus petit intervalle ouvert contenant x et les x i tel que
f ( x ) − p ( x ) =
1
( n +1)!
P n ( x ) f
( n +1)
( j ) , où P n ( x ) =
k
i = 0
( x − x i )
a i +1
Splinescubiques de classe C
2
: Soient a = x 0 < x 2 <. .. < x n = b , n +1réels distincts. Pour
toutensemble de n +3données y
0 , y 0 ,..., y n , y
n , il existe une unique fonction Sde
P
2
3 =
f ∈C
2
([a , b ]) : f [ x i , x i +1 ] ∈ P 3 , 0 i n − 1
vérifiant :
S ( x i ) = y i , 0 i n , S
( x 0 ) = y
0 , S
( x n ) = y
n