Corrigés desproblèmes
195
où A =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
2 − 1
O
− 1
. . .
. . .
. . .
. . . − 1
O
− 12
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
∈ R
N × N
, Id est la matrice identité
et F n =
⎛
⎜
⎝
f ( x 1 , t n )
. . .
f ( x N , t n )
⎞
⎟
⎠ .
(b) Cette fois ci, nous utilisons (11.2) et (11.3) pour t = t n +1 ,n ous obtenons pour tout i =
1 ,...,N ,
V ( i , n +1) − V ( i , n )
D t
−
V ( i − 1 , n +1) − 2 V ( i , n +1)+V ( i +1, n +1)
h 2
= f ( x i , t n +1 )
soit
1+2
D t
h 2
V ( i , n +1) −
D t
h 2 V ( i − 1 , n +1) −
D t
h 2 V ( i +1, n +1) = V ( i , n )+D tf( x i , t n +1 ) .
Finalement
( Id +
D t
h 2 A ) V (1 : N , n +1) = V (1 : N , n )+D tF n +1 .
(11.7)
La matrice ( Id +
D t
h 2 A )est àdiagonale dominante stricte et est donc inversible puisque 0n’est pas
unevaleur propre (cf (4.2) du chapitre 4) et donc V (1 : N , n +1)est déterminé de manière unique
par(11.7).
(c) En faisant la moyenne de (11.6) et (11.7), il vient
( Id +
D t
2 h 2 A ) V (1 : N , n +1) = ( Id −
D t
2 h 2 A ) V (1 : N , n )+
D t
2
( F n + F n +1 ) .
(11.8)
De même que précédemment,cesystème admet une solution unique.
3. (a) Si u est la solution du problème exact, nous définissons
´ 1 ( x , t ) = u ( x , t + D t ) − u ( x , t )+
D t
h 2 ( − u ( x − h , t )+2u ( x , t ) − u ( x + h , t )) − D tf( x , t ) .
D’après (11.1) et (11.3), nous avons
´ 1 ( x , t ) = D t
∂ u
∂ t
( x , t )+
1
2
D t
2 ∂
2
u
∂ t 2 ( x , t + a t )
+ D t
−
∂
2
u
∂ x 2 ( x , t ) −
h
2
12
∂
4
u
∂ x 4 ( x + g h , t )
− D tf( x , t )
= D t
∂ u
∂ t
( x , t ) −
∂
2
u
∂ x 2 ( x , t ) − f ( x , t )
+ D t
D t
2
∂
2
u
∂ t 2 ( x , t + a t ) −
h
2
12
∂
4
u
∂ x 4 ( x + g h , t )
 Dunod –Laphotocopie non autorisée est un délit