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11
•
Problèmes
3. En écrivant ¯u ( x ) =
n
j = 1
z j w j ( x ), montrer que le problème approché revient àt rouver un
vecteur z = ( z 1 ,...,z n )
T
∈ R
n
tel que pour i = 1 ,...,n ,
n
j = 1
( r ij + m ij ) z j = b i ,
où r ij =
L
0
w
i ( x ) w
j ( x ) dx, m ij =
L
0
c ( x ) w i ( x ) w j ( x ) dx et b i =
L
0
f ( x ) w i ( x ) dx.
R = ( r ij )est appelé matrice de rigidité et M = ( m ij )matrice de masse.
4. En écrivant z
T
( R + M ) z sous la forme d’une intégrale, montrer que si z
T
( R + M ) z = 0alors
z = 0. En déduire que R + M est inversible et que le problème approché admet ainsi une solution
unique.
5. On prend w j ( x ) = sin( j v x )où v = p / L .Déterminer R et dans le cas où c = 1, déterminer
M .
6. Soit0= x 0 < x 1 <... < x n < x n +1 = L un subdivision de [0, L ]. Pour i = 1 ,...,n , w i
est la fonction continue, affinepar morceaux telle que w i ( x j ) = d ij pour j = 0 ,..., n +1.
(a) Montrer que R et M sont tridiagonales.
(b) Dans le cas d’une subdivision régulière i.e. x i +1 − x i = h =
L
n +1
,déterminer R .Sideplus
c = 1déterminer M .
(c) Finalement on remplacelesecond membre B = ( b 1 ,...,b n )où b i =
L
0
f ( x ) w i ( x ) dx par
une approximation F = ( f 1 ,..., f n )où f i =
L
0
¯
f ( x ) w i ( x ) dx avec ¯
f ( x ) =
n
j = 1
f ( x j ) w j ( x ).
Écrire le systèmedonnant la solution du problème approché dans ce cas.
b) Programmation
On part de l’équation de la chaleur simplifiée
∂ u
∂ t
( x , t ) −
∂
2
u
∂ x 2 ( x , t ) = f ( x , t ) , x ∈ [0, 1], t ∈ [0, T ]
u (0, t ) = u ( L , 0) = 0
u ( x , 0) = sin(p x )+x
2
(1 − x )
avec f ( x , t ) = − 2+6x .O nu tilise une méthode d’éléments finis, h =
1
N +1
, x i = ih pour
i = 0 ,...N +1.A vecles fonctions chapeau w i , i = 1àN définie sur la subdivision régulière
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Problèmes
3. En écrivant ¯u ( x ) =
n
j = 1
z j w j ( x ), montrer que le problème approché revient àt rouver un
vecteur z = ( z 1 ,...,z n )
T
∈ R
n
tel que pour i = 1 ,...,n ,
n
j = 1
( r ij + m ij ) z j = b i ,
où r ij =
L
0
w
i ( x ) w
j ( x ) dx, m ij =
L
0
c ( x ) w i ( x ) w j ( x ) dx et b i =
L
0
f ( x ) w i ( x ) dx.
R = ( r ij )est appelé matrice de rigidité et M = ( m ij )matrice de masse.
4. En écrivant z
T
( R + M ) z sous la forme d’une intégrale, montrer que si z
T
( R + M ) z = 0alors
z = 0. En déduire que R + M est inversible et que le problème approché admet ainsi une solution
unique.
5. On prend w j ( x ) = sin( j v x )où v = p / L .Déterminer R et dans le cas où c = 1, déterminer
M .
6. Soit0= x 0 < x 1 <... < x n < x n +1 = L un subdivision de [0, L ]. Pour i = 1 ,...,n , w i
est la fonction continue, affinepar morceaux telle que w i ( x j ) = d ij pour j = 0 ,..., n +1.
(a) Montrer que R et M sont tridiagonales.
(b) Dans le cas d’une subdivision régulière i.e. x i +1 − x i = h =
L
n +1
,déterminer R .Sideplus
c = 1déterminer M .
(c) Finalement on remplacelesecond membre B = ( b 1 ,...,b n )où b i =
L
0
f ( x ) w i ( x ) dx par
une approximation F = ( f 1 ,..., f n )où f i =
L
0
¯
f ( x ) w i ( x ) dx avec ¯
f ( x ) =
n
j = 1
f ( x j ) w j ( x ).
Écrire le systèmedonnant la solution du problème approché dans ce cas.
b) Programmation
On part de l’équation de la chaleur simplifiée
∂ u
∂ t
( x , t ) −
∂
2
u
∂ x 2 ( x , t ) = f ( x , t ) , x ∈ [0, 1], t ∈ [0, T ]
u (0, t ) = u ( L , 0) = 0
u ( x , 0) = sin(p x )+x
2
(1 − x )
avec f ( x , t ) = − 2+6x .O nu tilise une méthode d’éléments finis, h =
1
N +1
, x i = ih pour
i = 0 ,...N +1.A vecles fonctions chapeau w i , i = 1àN définie sur la subdivision régulière