Énoncés des problèmes
185
−6.5
−6
−5.5
−5
−4.5
−4
−3.5
−3
−2.5
−2
−12
−11
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
pente de la droite de regression : 2.0462
log(dt)
log(Erreur)
L’erreur est en ( D t )
2
.
11.3 Éléments finis élémentaires
a) Problème variationneletproblème approché
On considèreleproblème
( P )
− u
( x )+c ( x ) u ( x ) = f ( x ) , x ∈ [0, L ]
u (0) = u ( L ) = 0
où f et c sont des fonctions continues avec c > 0. Ce problème admet une solution unique de
classe C
2
sur [0, L ].
1. Soit v ∈C
1
telle que v (0) = v (1) = 0, montrer que
L
0
u
( x ) v
( x ) dx +
L
0
c ( x ) u ( x ) v ( x ) dx =
L
0
f ( x ) v ( x ) dx.
(11.4)
Il s’agit de la formulation variationnelle du problème ( P ).
On désignepar V l’espace vectoriel des fonctions v continues sur [0, L ]admettant des dérivées
premièrescontinues sauf en un nombre finidepoints où les dérivées ont une limite àgauche et à
droite. On impose de plus que v (0) = v ( L ) = 0.
2. Montrer que pour tout v ∈ V ,(11.4) est encore vérifiée.
Si w 1 ,...,w n sont n fonctions indépendantes de V ,ondésigne par V n le sous-espace vectoriel
engendré parces fonctions. Pour le problème approché, il s’agit de déterminer ¯u ∈ V n tel que
∀ ¯v ∈ V n ,
L
0
¯u
( x )¯ v
( x ) dx +
L
0
c ( x ) ¯u ( x )¯ v ( x ) dx =
L
0
f ( x )¯ v ( x ) dx.
(11.5)
 Dunod –Laphotocopie non autorisée est un délit