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10
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Différences finies en dimension 1
1. Montrer que le problème approché est donné par le système de N équations à N inconnues :
( P h ): MV = F
(10.7)
où M = A +
rh
2
B avec
A =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
2 − 10... 0
− 12− 1
. . .
. . .
0
. . .
. . .
. . . 0
. . .
. . .
. . .
. . . − 1
0 ... 0 − 12
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
∈ R
N , N
, F = h
2
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
f ( t 2 )
. . .
f ( t k )
. . .
f ( t N +1 )
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
∈ R
N
B =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
c ( t 2 )0
0 ...
0
0
c ( t 3 )0
. . .
. . .
0
. . .
. . .
. . .
0
. . .
. . .
. . .
. . .
0
0
...
00c ( t N +1 )
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
×
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
010 ... 0
− 10
1
. . .
. . .
0
. . .
. . .
. . . 0
. . .
. . .
. . . 01
0 ... 0 − 10
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
∈ R
N , N
,
V = ( v 2 ,..., v N +1 ))
T
représente la valeur approchée de ( u ( t 2 ) ,...,u ( t N +1 ))
T
àdéterminer.
La solution approchée du problème est alors Vh = [0; V ;0].
2. Programmation
Contruirelevecteur T ∈ R
N +2
.T ester avec N = 4. Sauvegarder sous CD1.m.
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☎
>> CD1
T=
0
0.2000
0.4000
0.6000
0.8000
1.0000
✝
✆
3. On définit f ( r , t ) = r
2
e
rt
( t − 1)/ (1 − e
r
)+rt et c ( t ) = t .Lasolution exacte est définie
par:u ( r , t ) = t − (1 − e
rt
) / (1 − e
r
). On aremplacé f ( t ) par f ( r , t ) et de même pour u .
Construire trois fonctions f.m calculant f ( r , T ), u.m calculant u ( r , T )e t c.m calculant c ( T ).
Tester avec : r = 1, T = 0:3.
✞
☎
f1 =0 .5820
1.0000
-2.3003 -20.3786
c1 =0123
u1 =00- 1.7183
-8.1073
✝
✆