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10
•
Différences finies en dimension 1
Enfin le dernier exercice propose l’étude d’une équation du type − u
( x )+c ( x ) u
( x ) = f ( x )avec
conditions aux bords d’un intervalle en utilisant (10.3) et (10.4).Onverra comment dans certains
cas la solution approchée s’écarte de la solution exacte et comment maintenir une erreur du même
ordreque celle trouvée dans le cas initial.
ÉNONCÉS DES EXERCICES
10.1 Flexion d’unepoutre
On considère une poutre de longueur 1étirée aux 2bouts selon son axepar une force P et soumise
àune charge transversale f .Lemoment fléchissant u ( x )aupoint x est solution du problème
( P )
− u
( x )+c ( x ) u ( x ) = f ( x )pour 0 x 1
u (0) = u (1) = 0
où c ( x ) = P / EI( x ), E ´ tant le module d’Young du matériau et I ( x )moment principal d’inertie
de la section de la poutreaupoint x .Pour simplifier,dans la suite, on supposeque c ( x ) est une
constante c > 0.
Soit N un entier,onsubdivise l’intervalle [0, 1] en segments de longueur h = 1 / ( N +1). Soit
x i = ih, i = 0 , N +1.O nv ac hercher une solution approchée ( v 0 ,..., v N +1 )d éfinie en les x i .
Naturellement on prend v 0 = v N +1 = 0etoncherche V h = ( v 1 ,..., v N )
T
.
1. Montrer que si f ∈C
0
([0, 1]), le problème ( P )admet une solution unique. On peut faire une
démonstration directe ou utiliser l’exercice 8.2.
2. Soit f une fonction de classe C
4
sur R .Montrer que pour tout x ∈ R ,ilexiste a ∈ ] − 1 , 1[
tel que
f
( x ) =
f ( x − h ) − 2 f ( x )+f ( x + h )
h 2
+ c 1 h
2
f
(4)
( x + a h )( 10.5)
3. Écrire les équations en les x i en remplaçant u
( x i )par l’expression précédente.
4. En négligeant le terme en h
2
et en approchant alors u ( x i )par v i ,écrire le problème ( P h )sous
la forme
A h V h = F h où A h ∈ R
N × N
, F h = ( h
2
f ( x 1 ) ,..., h
2
f ( x N ))
T
Nous allons maintenant montrer que ( P h )admet une solution unique puis majorer l’erreur V h − U h
où U h est la solution exacte en les x i , U h = ( u ( x 1 ) ,..., u ( x N ))
T
.
5. On dit qu’un vecteur V de R
N
est positif (noté V 0) si tous ses composants sont positifs.
De même pour une matrice positive.
(a) Montrer que si A h V 0alors V 0 .
(b) En déduire que A h est inversible et que A
− 1
h 0;on dit dans ce cas que A h est une matrice
monotone.
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Différences finies en dimension 1
Enfin le dernier exercice propose l’étude d’une équation du type − u
( x )+c ( x ) u
( x ) = f ( x )avec
conditions aux bords d’un intervalle en utilisant (10.3) et (10.4).Onverra comment dans certains
cas la solution approchée s’écarte de la solution exacte et comment maintenir une erreur du même
ordreque celle trouvée dans le cas initial.
ÉNONCÉS DES EXERCICES
10.1 Flexion d’unepoutre
On considère une poutre de longueur 1étirée aux 2bouts selon son axepar une force P et soumise
àune charge transversale f .Lemoment fléchissant u ( x )aupoint x est solution du problème
( P )
− u
( x )+c ( x ) u ( x ) = f ( x )pour 0 x 1
u (0) = u (1) = 0
où c ( x ) = P / EI( x ), E ´ tant le module d’Young du matériau et I ( x )moment principal d’inertie
de la section de la poutreaupoint x .Pour simplifier,dans la suite, on supposeque c ( x ) est une
constante c > 0.
Soit N un entier,onsubdivise l’intervalle [0, 1] en segments de longueur h = 1 / ( N +1). Soit
x i = ih, i = 0 , N +1.O nv ac hercher une solution approchée ( v 0 ,..., v N +1 )d éfinie en les x i .
Naturellement on prend v 0 = v N +1 = 0etoncherche V h = ( v 1 ,..., v N )
T
.
1. Montrer que si f ∈C
0
([0, 1]), le problème ( P )admet une solution unique. On peut faire une
démonstration directe ou utiliser l’exercice 8.2.
2. Soit f une fonction de classe C
4
sur R .Montrer que pour tout x ∈ R ,ilexiste a ∈ ] − 1 , 1[
tel que
f
( x ) =
f ( x − h ) − 2 f ( x )+f ( x + h )
h 2
+ c 1 h
2
f
(4)
( x + a h )( 10.5)
3. Écrire les équations en les x i en remplaçant u
( x i )par l’expression précédente.
4. En négligeant le terme en h
2
et en approchant alors u ( x i )par v i ,écrire le problème ( P h )sous
la forme
A h V h = F h où A h ∈ R
N × N
, F h = ( h
2
f ( x 1 ) ,..., h
2
f ( x N ))
T
Nous allons maintenant montrer que ( P h )admet une solution unique puis majorer l’erreur V h − U h
où U h est la solution exacte en les x i , U h = ( u ( x 1 ) ,..., u ( x N ))
T
.
5. On dit qu’un vecteur V de R
N
est positif (noté V 0) si tous ses composants sont positifs.
De même pour une matrice positive.
(a) Montrer que si A h V 0alors V 0 .
(b) En déduire que A h est inversible et que A
− 1
h 0;on dit dans ce cas que A h est une matrice
monotone.