134
9
•
Méthodes multipas
DU MALÀDÉMARRER
?
9.1 Conditions initiales
L’ensemble des suites récurrentes ( u i )telles que u i +1 = u i − 1 − 2 hu i est un espace vectoriel de
dimension 2. On en cherche des éléments de la forme u n = r
n
.
9.2 Intégration numérique
1. On peut utiliser la base { 1 , ( x − x 0 ) , ( x − x 0 )
2
} .
3. p 3 ( x )garde un signe constant sur [ x 0 − 2 h , x 0 + h ].
9.3U ne méthode multipas
1. (a) y ( t 1 ) = u 0 +
t 1
t 0
y
( t ) dt et x = u 0 +
t 1
t 0
y
( t 0 ) dt.
(b) Utiliser le théorème des accroissements finis.
(c) y ( t 2 ) = u 0 +
t 2
t 0
y
( t ) dt et u 2 = u 0 +
t 2
t 0
f ( t 1 , x ) dt.
2. y ( t i +1 ) − y ( t i − 2 ) =
t i +1
t i − 1
y
( t ) dt et reprendre le paragraphe précédent.
3. Utiliser l’hypothèse de Lipschicitéde f .
CORRIGÉS DES EXERCICES
9.1 Conditions initiales
1. Si h > 0, l’ensemble des suites récurrentes vérifiant u i +1 = u i − 1 − 2 hu i est un espace
vectoriel de dimension 2. Pour en chercher une base, on recherche des solutions de la forme u i = r
i
et on obtient l’équation r
2
+2hr − 1 = 0dont les 2racines distinctes sont r 1 = − h −
√ h 2 +1et
r 2 = − h +
√ h 2 +1,sibien que ces suites récurrentes sont de la forme u i = l r
i
1 + m r
i
2 .
1er cas :Sionimpose u 0 = 1et u 1 = − h +
√ h 2 +1= r 2 ,onaalors le système de 2équations
linéaires
l + m = 1
l r 1 + m r 2 = r 2
dont l’unique solution est ( l , m ) = (1, 0).
Il vient u i = ( − h +
√ h 2 +1)
i
.Sachant que 0 < − h +
√ h 2 +1< 1, on obtient que lim
i → + ∞
u i = 0
comme lim
t → + ∞
y ( t ) = 0où y est la solution exacte de l’équation.