COMPARAISON DE DEUX POURCENTAGES 0BSERVÊS
57
B. —— COBÆPARÆSON DE DEUX POURŒNTAGËS OBSERVËS
Test préliminaire
On dispose :
—
d’une part d’une urne connue (p = 20 % de boules noires),
—
d’autre part de deux échantillons, l’un de n A = 100 boules avec
17,4 = 15 %, l’autre de 713 = 400 boules avech = 25 %.
_
On demande, au vu de la différence (pA — p3), s’il est raisonnable de
penser que ces échantillons-ci proviennent par tirage au sort de cette urne—là (*).
Supposons qu’il en soit ainsi; d’après l’exemple numérique qui vient d’être
traité, la diñérence | 17,4 — p3 ] n’a que 5 chances sur 100 de dépasser 9 %. Si
elle dépasse ce seuil, nous rejetterons l’hypothèse que les deux échantillons
proviennent de l’urne : c’est ce que nous ferons en particulier dans le cas pré—
sent, puisque lPA ——p3 ] vaut 10 %.
Tout ce qui a été dit à propos des tests d’hypothèse pour un échantillon
s’applique ici :
l) Le test est caractérisé par une erreur, qui consiste à rejeter l’hypothèse
alors qu’elle est exacte. Le risque de commettre cette erreur est appelé risque
de première espèce (il vaut ici 5 %).
2) Le test est également a‘ecté d’un risque de deuxième espèce, ou manque
de puissance, qui consiste à ne pas rejeter l’hypothèse alors qu’elle est fausse.
3) On peut choisir à volonté le risque de première espèce (5 chances sur 100,
1 chance sur' 1 000, etc...); Le risque de deuxième espèce prend alors une valeur
inconnue, mais dont on sait qu’elle est d’autant plus grande que le risque de
première espèce aura été choisi plus petit. Ceci limite la possibilité de réduire
l’erreur.
-
_
On a l’habitude, à défaut d’autres spécications liées à la nature du pro—
blème, de choisir un risque de première espèce oc = 5 %.
Dans ces conditions, on rejette l’hypothèse dès que la di"érence | pA — p3 |
égale ou dépasse 1,96 fois l’écart-type 0'd =
+
{€ ou encore, en termes
d’écart-réduit, dès que
”A
”3
l—pA—_—p—B—l
;
1,96 (pratiquement 2).
,
pq
__
T
__
11,4
713
Comparaison de deux pourcentages
Soit deux échantillons, ayant respectivement
=
100 boules dont 20 noires
(PA = 20 %), 113 = 400 boules dont 128 noires _(p3 = 32 %). Peut—on accepter
l’hypothèse que les deux échantillons proviennent d’une même urne?
(*) Ce test ne présente pas d’intérêt en lui-même, il n’est qu’un intermédiaire utile
pour l’exposé du test suivant.
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B. —— COBÆPARÆSON DE DEUX POURŒNTAGËS OBSERVËS
Test préliminaire
On dispose :
—
d’une part d’une urne connue (p = 20 % de boules noires),
—
d’autre part de deux échantillons, l’un de n A = 100 boules avec
17,4 = 15 %, l’autre de 713 = 400 boules avech = 25 %.
_
On demande, au vu de la différence (pA — p3), s’il est raisonnable de
penser que ces échantillons-ci proviennent par tirage au sort de cette urne—là (*).
Supposons qu’il en soit ainsi; d’après l’exemple numérique qui vient d’être
traité, la diñérence | 17,4 — p3 ] n’a que 5 chances sur 100 de dépasser 9 %. Si
elle dépasse ce seuil, nous rejetterons l’hypothèse que les deux échantillons
proviennent de l’urne : c’est ce que nous ferons en particulier dans le cas pré—
sent, puisque lPA ——p3 ] vaut 10 %.
Tout ce qui a été dit à propos des tests d’hypothèse pour un échantillon
s’applique ici :
l) Le test est caractérisé par une erreur, qui consiste à rejeter l’hypothèse
alors qu’elle est exacte. Le risque de commettre cette erreur est appelé risque
de première espèce (il vaut ici 5 %).
2) Le test est également a‘ecté d’un risque de deuxième espèce, ou manque
de puissance, qui consiste à ne pas rejeter l’hypothèse alors qu’elle est fausse.
3) On peut choisir à volonté le risque de première espèce (5 chances sur 100,
1 chance sur' 1 000, etc...); Le risque de deuxième espèce prend alors une valeur
inconnue, mais dont on sait qu’elle est d’autant plus grande que le risque de
première espèce aura été choisi plus petit. Ceci limite la possibilité de réduire
l’erreur.
-
_
On a l’habitude, à défaut d’autres spécications liées à la nature du pro—
blème, de choisir un risque de première espèce oc = 5 %.
Dans ces conditions, on rejette l’hypothèse dès que la di"érence | pA — p3 |
égale ou dépasse 1,96 fois l’écart-type 0'd =
+
{€ ou encore, en termes
d’écart-réduit, dès que
”A
”3
l—pA—_—p—B—l
;
1,96 (pratiquement 2).
,
pq
__
T
__
11,4
713
Comparaison de deux pourcentages
Soit deux échantillons, ayant respectivement
=
100 boules dont 20 noires
(PA = 20 %), 113 = 400 boules dont 128 noires _(p3 = 32 %). Peut—on accepter
l’hypothèse que les deux échantillons proviennent d’une même urne?
(*) Ce test ne présente pas d’intérêt en lui-même, il n’est qu’un intermédiaire utile
pour l’exposé du test suivant.