1. Elements de class ificat ions et ordres de grandeur
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Retrouver la formule de J ean s (1925, [67]),
n ; U,
Pi = 2ft (1 + Yi) exp (- Yi ) ,
avec Yi, Ie parameire d 'ecluippem ent, donne par r f H, = (Ulib /Ui)2.
4. Pour quelles valeurs de Yi, l'echapp ement est -il import ant ? Ca1culer Y H
et YH 2 pour des t emp er atures a I'exob ase T E [800, 1600]K. Que peut-on
en conclure?
Donnees : G = 6.67 x 1O -llm 3 kg1
s- 2 , NIt = 6 x 10 24 kg, NIH = Lg mol" !
et NI H 2 = 2 g mol1 .
Reponse :
1. A I'infin i (r -> 00) , la vitesse est null e. On trouve a la dist an ce r a laquelle la
lib eration a lieu
uu» = V2!V~tG = yl2g(r )r ,
avec g(r) = GMt/r
2 la constante de gravite de la Terre a cet t e d ist an ce.
2. On t rouve Ulib co:: 11 km s1 , une valeur qui ne dep end pas de I'esp ece consideree
(ne pas oublier qu 'il fau t rajouter Ie rayon de la Terr e a I'alti tude i) .
3. Le flux moyen par unite de sur face et par unite de te m ps est obtenu en mult iplia nt la composante vertica le v cos e par la densit e ti ; a I'alti tude consideree
puis en int egran t sur la par ti e « utile» de la dist ributi on (v;::: uu»), soit
On utili se J:: 0 1r /
2 sin ecos ede = [sin
2
e] ~ / 2 / 2 = 1/ 2 et J::~1r d ¢ = 211". Avec Ie
change me nt de variabl es y = ii[U« , on doit calculer , par integration par parti es,
roo y3exp( _ y2)dy = [_.!. ex p( _ y2)y2] 00 + roo y exp( _ y2)dy
Jy=vY:
2
vY: Jy=vY:
= [_.!. ex p( _ y2)y2] 00 + [_.!. ex p( _ y2)] 00
2
vY:
2
vY:
1 + Yo
= - 2- ' ex p(- Yi ) .
On concl ut aiscme nt p our Ie fact eur de propor tionnalite,
4. La fonction (1 + Y ) cx p( - Y ) est decroissante, et vaut 5 x 102 pour Y = 5,
5 X 104 pou r Y = 10 et 5 x 106 p our Y = 15. On considere done en general qu e
I'echappem en t est completeme nt negligea ble po ur Y ::; 10, voire 15. Les seules
especes conce r nees sont les especes de plus faible m asse (hy droge nc atomique ou
mol eculai re puis event ue lleme nt helium). On calcu le, su r la plage de variation
de T, YH E [4.5, 9] et Y H 2 E [9,1 8]. La seule esp ece terrestre po t entiellem en t
concerne e est done l'hydrogene at om ique.
P our en savoir plus ([128]) :
F . Selsis. E vapo ration plan et air e. In Formation planeto ire et exoplane tes , ecole CN R S
de Goutelas XXVIII , 2005. Edite par J .L. Halbwachs, D. Egret et J. M. Ham eu ry
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Retrouver la formule de J ean s (1925, [67]),
n ; U,
Pi = 2ft (1 + Yi) exp (- Yi ) ,
avec Yi, Ie parameire d 'ecluippem ent, donne par r f H, = (Ulib /Ui)2.
4. Pour quelles valeurs de Yi, l'echapp ement est -il import ant ? Ca1culer Y H
et YH 2 pour des t emp er atures a I'exob ase T E [800, 1600]K. Que peut-on
en conclure?
Donnees : G = 6.67 x 1O -llm 3 kg1
s- 2 , NIt = 6 x 10 24 kg, NIH = Lg mol" !
et NI H 2 = 2 g mol1 .
Reponse :
1. A I'infin i (r -> 00) , la vitesse est null e. On trouve a la dist an ce r a laquelle la
lib eration a lieu
uu» = V2!V~tG = yl2g(r )r ,
avec g(r) = GMt/r
2 la constante de gravite de la Terre a cet t e d ist an ce.
2. On t rouve Ulib co:: 11 km s1 , une valeur qui ne dep end pas de I'esp ece consideree
(ne pas oublier qu 'il fau t rajouter Ie rayon de la Terr e a I'alti tude i) .
3. Le flux moyen par unite de sur face et par unite de te m ps est obtenu en mult iplia nt la composante vertica le v cos e par la densit e ti ; a I'alti tude consideree
puis en int egran t sur la par ti e « utile» de la dist ributi on (v;::: uu»), soit
On utili se J:: 0 1r /
2 sin ecos ede = [sin
2
e] ~ / 2 / 2 = 1/ 2 et J::~1r d ¢ = 211". Avec Ie
change me nt de variabl es y = ii[U« , on doit calculer , par integration par parti es,
roo y3exp( _ y2)dy = [_.!. ex p( _ y2)y2] 00 + roo y exp( _ y2)dy
Jy=vY:
2
vY: Jy=vY:
= [_.!. ex p( _ y2)y2] 00 + [_.!. ex p( _ y2)] 00
2
vY:
2
vY:
1 + Yo
= - 2- ' ex p(- Yi ) .
On concl ut aiscme nt p our Ie fact eur de propor tionnalite,
4. La fonction (1 + Y ) cx p( - Y ) est decroissante, et vaut 5 x 102 pour Y = 5,
5 X 104 pou r Y = 10 et 5 x 106 p our Y = 15. On considere done en general qu e
I'echappem en t est completeme nt negligea ble po ur Y ::; 10, voire 15. Les seules
especes conce r nees sont les especes de plus faible m asse (hy droge nc atomique ou
mol eculai re puis event ue lleme nt helium). On calcu le, su r la plage de variation
de T, YH E [4.5, 9] et Y H 2 E [9,1 8]. La seule esp ece terrestre po t entiellem en t
concerne e est done l'hydrogene at om ique.
P our en savoir plus ([128]) :
F . Selsis. E vapo ration plan et air e. In Formation planeto ire et exoplane tes , ecole CN R S
de Goutelas XXVIII , 2005. Edite par J .L. Halbwachs, D. Egret et J. M. Ham eu ry