6. Vers la simulation numerique
309
Exercice 6.10 (Methode d'interpolation optimale)
Soit Ym et obs les valeur s respecti vement mod elisee et observee d 'une concentration. Les deux valeurs sont incertain es et on not e 0-;;" et 0-; les vari an ces
est imees, respectiveme nt pour Ym et obs. La qu an t ite 1/ 0-; peut done et re vue
comme un e confiance accordee ala vari abl e consideree , Pour estimer la concentrat ion Y en te nant compte des sources d'information don t on dispose, on va
minimiser la fon ction coilt, habituellement notee J,
1
2 1
2
J (y ) = - (y - Ym ) + - (y - obs ) .
20-;'
20-;
J decrit l'ecar t aux deux sources d'information , pond ere par la confian ce qu 'on
leur accorde . Estimer la valeur de l'analys e, Ya, qui realise le minimum de J .
Commenter.
Reponse:
J est un e fon cti on convexe dont le minimum verifie BJ / By = 0, soit
Ya =
Ym
obs
- +(T~
(T~
1
1
- +(T~
(T~
Les comme ntaires selon les ordres de grande ur resp ectifs des vari an ces sont dir ect s.
Cette approche a, par ailleur s, un e int erpret ation probabilist e qu e l'on ne det aille pas
ici. II est a no ter qu e la qu alit e de la solutio n (la confiance qu e l'on peu t lui accorder)
est don nee par la ca pacit e a calculer le m inimum de J : plus le minimum est m arque,
plu s la confiance peu t et re elevee (figur e 6.18). La m ethode revien t fondamen t alem ent
a inverser la m at rice hessienne de J .
Mo delisat ion inverse
Une application int eressan t e, form ellement similaire, est la modelisaiion inverse (on parl e aussi d'identification de parametres) . L'objecti f est d 'estimer
un e variable d 'entree inc ertaine du modele, dont la conna issance a un int eret
en tant qu e te l. C'est ty piquement le cas d 'un flux d 'emission , par exemple pour
affiner un inventaire d 'emission , verifier le respect d 'un traite de limit ation des
emissions ou localiser un e source accident elle inconnue mais detectee par un
reseau de mesur es.
Le cas le plu s simple est donne par le mod ele lineaire y = Ax , OU x E jRP
correspond aux entrees du modele qu e l'on cherche a cont roler. On observe,
via un operaieur d 'observation H (que l'on supposera lineaire}, les sorties du
modele, ce qui delivre des observations obs = H y . Pour un e station de mesure t errestre, H est defini par un echa nt illonnage en te mps, en espace et en
espece (on observe une espece a un te mps donne et en un e position donnee) .
L'ob servation est en gener al inc omplet e, et obs E jRm avec m « p.
Si l'ob servation etait complete (m = p) et parfait e (san s erreur ), on aurait
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Exercice 6.10 (Methode d'interpolation optimale)
Soit Ym et obs les valeur s respecti vement mod elisee et observee d 'une concentration. Les deux valeurs sont incertain es et on not e 0-;;" et 0-; les vari an ces
est imees, respectiveme nt pour Ym et obs. La qu an t ite 1/ 0-; peut done et re vue
comme un e confiance accordee ala vari abl e consideree , Pour estimer la concentrat ion Y en te nant compte des sources d'information don t on dispose, on va
minimiser la fon ction coilt, habituellement notee J,
1
2 1
2
J (y ) = - (y - Ym ) + - (y - obs ) .
20-;'
20-;
J decrit l'ecar t aux deux sources d'information , pond ere par la confian ce qu 'on
leur accorde . Estimer la valeur de l'analys e, Ya, qui realise le minimum de J .
Commenter.
Reponse:
J est un e fon cti on convexe dont le minimum verifie BJ / By = 0, soit
Ya =
Ym
obs
- +(T~
(T~
1
1
- +(T~
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Les comme ntaires selon les ordres de grande ur resp ectifs des vari an ces sont dir ect s.
Cette approche a, par ailleur s, un e int erpret ation probabilist e qu e l'on ne det aille pas
ici. II est a no ter qu e la qu alit e de la solutio n (la confiance qu e l'on peu t lui accorder)
est don nee par la ca pacit e a calculer le m inimum de J : plus le minimum est m arque,
plu s la confiance peu t et re elevee (figur e 6.18). La m ethode revien t fondamen t alem ent
a inverser la m at rice hessienne de J .
Mo delisat ion inverse
Une application int eressan t e, form ellement similaire, est la modelisaiion inverse (on parl e aussi d'identification de parametres) . L'objecti f est d 'estimer
un e variable d 'entree inc ertaine du modele, dont la conna issance a un int eret
en tant qu e te l. C'est ty piquement le cas d 'un flux d 'emission , par exemple pour
affiner un inventaire d 'emission , verifier le respect d 'un traite de limit ation des
emissions ou localiser un e source accident elle inconnue mais detectee par un
reseau de mesur es.
Le cas le plu s simple est donne par le mod ele lineaire y = Ax , OU x E jRP
correspond aux entrees du modele qu e l'on cherche a cont roler. On observe,
via un operaieur d 'observation H (que l'on supposera lineaire}, les sorties du
modele, ce qui delivre des observations obs = H y . Pour un e station de mesure t errestre, H est defini par un echa nt illonnage en te mps, en espace et en
espece (on observe une espece a un te mps donne et en un e position donnee) .
L'ob servation est en gener al inc omplet e, et obs E jRm avec m « p.
Si l'ob servation etait complete (m = p) et parfait e (san s erreur ), on aurait