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P ollution at rnospher ique
Pr'oblerne 5.3 (Distribution verticale des aerosols)
La distribution vertic ale des aerosols de plu s grosse t aille (avec un rayon superieur a 10 urn) est pilotee par la compet it ion ent re la t ur bulence atrnospherique
et la sedimentation gravitat ionnelle. On not e K; le coefficient de diffusion turbul ent e vert icale et vs( r ) la vit esse de sedimentation, fonction du rayon r de la
particule consideree, La vitesse de sedimentation s'applique comm e une vit esse
de chute de la par ticule.
1. En supposant un equilibre ent re ces deux processus, quelle est l'equ ation
verifiee par la concent rat ion en par ti cules de rayon r , not ee c?
On not era p la densit e de l'air, supposee donnee en fonction de l'alti tude
z par un e hau t eur d 'echelle H . Au sol (z = 0) , l'emission des par ti cules
(E ) et le depot sec (donne par une vit esse de depo t Vdep(r )) definissent
un flux turbulent (cha pit re 6)
- pK z:z( ~) = E - Vdep (r )co ,
p z=o
avec Co la valeur de la concent rat ion au sol. De plu s, on prendra comm e
condit ion aux limites superieure lim z ---+ CXJ c(z) = O.
2. Qu elle est la hauteur d 'echelle H(r ) des part icules de rayon r?
Indi cation : le flux vertic al t ur bulent d 'aerosols (chapitres 3 et 6) sera param etre
par
(w'c') = - PK z : z (~) ,
avec w la composa nte verti cale du vent .
R eponsc :
1. A I'aid e de la par ametrisation du flux ver ti cal turbulent , on a dir ect em ent
oe + ~ (- vs(r) e) = ~ (PKz~ ( ~))
ot oz
oz
oz p
L'h ypothese de stationnarite en t emps conduit it
- vs(r )e - stc, :z (~) = A ,
avec A un e constante it det erminer. La conditi on au sol (z = 0) permet de
ca lculer A = E - v(r)eo , en not an t v(r ) = vs(r ) + Vdep(r).
2. On resout en pr en ant com me vari abl e Ie rapport de melange q(r) = e(r) / p. En
utilis an t p(z) = poexp( - z/ H ), on ob ti en t
oq v(r ) _ v(r )eo - E
(~)
" + K q -
K
exp H '
u Z
z
po z
soit , apres int egration,
(
v(r) )
v(r)eo -E
1
( Z)
q(z) = Bexp - K z z + poK z
1
v(r) ex p H '
- + -
H
tc,
P ollution at rnospher ique
Pr'oblerne 5.3 (Distribution verticale des aerosols)
La distribution vertic ale des aerosols de plu s grosse t aille (avec un rayon superieur a 10 urn) est pilotee par la compet it ion ent re la t ur bulence atrnospherique
et la sedimentation gravitat ionnelle. On not e K; le coefficient de diffusion turbul ent e vert icale et vs( r ) la vit esse de sedimentation, fonction du rayon r de la
particule consideree, La vitesse de sedimentation s'applique comm e une vit esse
de chute de la par ticule.
1. En supposant un equilibre ent re ces deux processus, quelle est l'equ ation
verifiee par la concent rat ion en par ti cules de rayon r , not ee c?
On not era p la densit e de l'air, supposee donnee en fonction de l'alti tude
z par un e hau t eur d 'echelle H . Au sol (z = 0) , l'emission des par ti cules
(E ) et le depot sec (donne par une vit esse de depo t Vdep(r )) definissent
un flux turbulent (cha pit re 6)
- pK z:z( ~) = E - Vdep (r )co ,
p z=o
avec Co la valeur de la concent rat ion au sol. De plu s, on prendra comm e
condit ion aux limites superieure lim z ---+ CXJ c(z) = O.
2. Qu elle est la hauteur d 'echelle H(r ) des part icules de rayon r?
Indi cation : le flux vertic al t ur bulent d 'aerosols (chapitres 3 et 6) sera param etre
par
(w'c') = - PK z : z (~) ,
avec w la composa nte verti cale du vent .
R eponsc :
1. A I'aid e de la par ametrisation du flux ver ti cal turbulent , on a dir ect em ent
oe + ~ (- vs(r) e) = ~ (PKz~ ( ~))
ot oz
oz
oz p
L'h ypothese de stationnarite en t emps conduit it
- vs(r )e - stc, :z (~) = A ,
avec A un e constante it det erminer. La conditi on au sol (z = 0) permet de
ca lculer A = E - v(r)eo , en not an t v(r ) = vs(r ) + Vdep(r).
2. On resout en pr en ant com me vari abl e Ie rapport de melange q(r) = e(r) / p. En
utilis an t p(z) = poexp( - z/ H ), on ob ti en t
oq v(r ) _ v(r )eo - E
(~)
" + K q -
K
exp H '
u Z
z
po z
soit , apres int egration,
(
v(r) )
v(r)eo -E
1
( Z)
q(z) = Bexp - K z z + poK z
1
v(r) ex p H '
- + -
H
tc,