Contribution à la Différenciation Morphométriques et Génétique de Carassin Commun
(Carassius carassius)
Matériels et Méthodes
32
B. Analyse en composantes principales (ACP)
Les différentes mesures recensées sont soumises à une ACP, à l'aide du logiciel Statistica
Version 5.
Analyse en composantes principales est une technique d'un échantillon appliqué aux données
avec aucun regroupement entre les observations et aucun partitionnement des variables en
sous-ensembles Y et X (Rencher, 2002).
La première composante principale est la combinaison linéaire de variance maximale; nous
recherchons essentiellement une dimension le long de laquelle les observations sont au
maximum séparée ou étalée. Le second composant principal est la combinaison linéaire de
variance maximale dans une direction orthogonale à la première composante principale, et
ainsi de suite(Rencher, 2002). Une synthèse de cette méthode est proposée par (Hmida,
2005).
Alors, Si un tableau de données comporte p variables quantitatives, nous dirons que les
individus peuvent être représentés dans un « espace à p dimensions ». Il est inutile de préciser
qu’il est impossible de « voir » dans un tel espace ! Aussi, le but de l’ACP est-il de trouver
des « espaces de dimensions plus petites dans lesquels il soit possible d’y observer « au
mieux » les individus. Pour des raisons évidentes de facilité de visualisation, les espaces
retenus seront à 1 dimension (c’est-à-dire des droites) ou, et ce sera le cas le plus fréquent, à 2
dimensions (c’est-à-dire des plans) (Philippeau, 1986).
Les ouvrages de(Rencher, 2002) , (Philippeau, 1986), (Casin, 1999)présentent de manière
détaillée la technique de l'analyse en composantes principales (ACP).
L’ACP s’applique à des données centrées réduites, la première opération va donc consister à
calculer les moyennes et les écart-types des variables;Pour plus de 3 variables on parle
d'hyperplan; A partir de ces moyennes et écart-types sont déterminées les variables centrées
réduites qui constituent les colonnes du tableau X.
Le logiciel d’ACP calcule ensuite la matrice
1
í µí±
∗ í µí±′í µí± c’est-à-dire la matrice des corrélations entre
les variables, puis la matrice de corrélation diagonalisée, cette matrice admet des valeurs propres
positive ou nulles.
Lorsqu'on effectue un changement d'axes en gardant la même origine (rotation) les nouve11es
coordonnées sont données en fonction des anciennes et des composantes des vecteurs
unitaires sur les nouveaux axes par des relations linéaires. Les contributions des nouvelles
variables sont les valeurs propres et leur somme est toujours égale au nombre de variables.
Cependant, seules les premières valeurs propres ont un intérêt les autres correspondant à des
étapes n’ayant qu’un faible pouvoir descriptif. Pour décider s’il y a lieu de retour ou non un
axe, il sera tenu compte à la fois du % cumulé de variance expliqué par l’axe, et de % cumulé
de variance expliquée par cet axe et les précédents. Ces % peuvent être très différents d’une
analyse à l’autre. Puis on peut tracer les cercles de corrélation et calculer les cordonnées des
individus.
(Carassius carassius)
Matériels et Méthodes
32
B. Analyse en composantes principales (ACP)
Les différentes mesures recensées sont soumises à une ACP, à l'aide du logiciel Statistica
Version 5.
Analyse en composantes principales est une technique d'un échantillon appliqué aux données
avec aucun regroupement entre les observations et aucun partitionnement des variables en
sous-ensembles Y et X (Rencher, 2002).
La première composante principale est la combinaison linéaire de variance maximale; nous
recherchons essentiellement une dimension le long de laquelle les observations sont au
maximum séparée ou étalée. Le second composant principal est la combinaison linéaire de
variance maximale dans une direction orthogonale à la première composante principale, et
ainsi de suite(Rencher, 2002). Une synthèse de cette méthode est proposée par (Hmida,
2005).
Alors, Si un tableau de données comporte p variables quantitatives, nous dirons que les
individus peuvent être représentés dans un « espace à p dimensions ». Il est inutile de préciser
qu’il est impossible de « voir » dans un tel espace ! Aussi, le but de l’ACP est-il de trouver
des « espaces de dimensions plus petites dans lesquels il soit possible d’y observer « au
mieux » les individus. Pour des raisons évidentes de facilité de visualisation, les espaces
retenus seront à 1 dimension (c’est-à-dire des droites) ou, et ce sera le cas le plus fréquent, à 2
dimensions (c’est-à-dire des plans) (Philippeau, 1986).
Les ouvrages de(Rencher, 2002) , (Philippeau, 1986), (Casin, 1999)présentent de manière
détaillée la technique de l'analyse en composantes principales (ACP).
L’ACP s’applique à des données centrées réduites, la première opération va donc consister à
calculer les moyennes et les écart-types des variables;Pour plus de 3 variables on parle
d'hyperplan; A partir de ces moyennes et écart-types sont déterminées les variables centrées
réduites qui constituent les colonnes du tableau X.
Le logiciel d’ACP calcule ensuite la matrice
1
í µí±
∗ í µí±′í µí± c’est-à-dire la matrice des corrélations entre
les variables, puis la matrice de corrélation diagonalisée, cette matrice admet des valeurs propres
positive ou nulles.
Lorsqu'on effectue un changement d'axes en gardant la même origine (rotation) les nouve11es
coordonnées sont données en fonction des anciennes et des composantes des vecteurs
unitaires sur les nouveaux axes par des relations linéaires. Les contributions des nouvelles
variables sont les valeurs propres et leur somme est toujours égale au nombre de variables.
Cependant, seules les premières valeurs propres ont un intérêt les autres correspondant à des
étapes n’ayant qu’un faible pouvoir descriptif. Pour décider s’il y a lieu de retour ou non un
axe, il sera tenu compte à la fois du % cumulé de variance expliqué par l’axe, et de % cumulé
de variance expliquée par cet axe et les précédents. Ces % peuvent être très différents d’une
analyse à l’autre. Puis on peut tracer les cercles de corrélation et calculer les cordonnées des
individus.