650 J Gauss surface normal coordinates in geometry and gravity space
Box J.7 (Closed form solution).
{X, Y, Z} ∈ T
2 , {x 1 , x 2 , x 3 } ∈ E
2
a,a,b to {L, B, H}.
Pythagoras in three dimensions:
H :=
p
(X − x 1 ) 2 + (Y − x 2 ) 2 + (Z − x 3 ) 2 .
(J.56)
Convert {x 1 , x 2 , x 3 } and {X, Y, Z} to {L, B}:
tan L =
Y − x 2
X − x 1
=
Y − y
X − x
, tan B =
Z − x 3
p
(X − x 1 ) 2 + (Y − x 2 ) 2
=
Z − x 3
p
(X − x) 2 + (Y − y) 2
. (J.57)
Box J.8 (Buchberger algorithm, Gr¨ obner basis for solving the normal equations of the constraint minimum
distance mapping).
Ideal I :=
:=
ˆ
x 1 + b
2 x 1 x 4 − X, x 2 + b
2 x 2 x 4 − Y, x 3 + a
2 x 3 x 4 − Z, b
2 x
2
1 + b
2 x
2
2 − a
2 x
2
3 − a
2 b
2
˜
Groebner basis G :=
:=
ˆ {x 1 + b
2 x 1 x 4 − X, x 2 + b
2 x 2 x 4 − Y, x 3 + a
2 x 3 x 4 − Z, b
2 x
2
1 + b
2 x
2
2 − a
2 x
2
3 − a
2 b
2 }{x 1 , x 2 , x 3 , x 4 }
˜
Computed Gr¨ obner basis for the minimum distance mapping problem:
a
2 b
2 x
4
4 + (2a
6 b
4 + 2a
4 b
6 )x
3
4 + (a
6 b
2 + 4a
4 b
4 + a
2 b
6 − a
4 b
2 X
2 − a
4 b
2 Y
2 − a
2 b
4 Z
2 )x
2
4 +
+(2a
4 b
2 + 2a
2 b
4 − 2a
2 b
2 X
2 − 2a
2 b
2 Y
2 − 2a
2 b
2 Z
2 )x 4 + (a
2 b
2 − b
2 X
2 − b
2 Y
2 − a
2 Z
2 ) ,
(J.58)
(a
4 Z − 2a
2 b
2 Z + b
4 Z)x 3 − a
6 b
6 x
3
4 − (2a
6 b
4 + a
4 b
6 )x
2
4 −
−(a
6 b
2 + 2a
4 b
4 − a
4 b
2 X
2 − a
4 b
2 Y
2 − a
2 b
4 Z
2 )x 4 − a
2 b
4 + a
2 b
2 X
2 + a
2 b
2 Y
2 + 2a
2 b
2 Z
2 − b
4 Z
2 ,
(J.59)
(2b
2 Z + b
4 x 4 Z − a
2 Z)x 3 + a
4 b
6 x
3
4 + (2a
4 b
4 + a
2 b
6 )x
2
4 +
+(a
4 b
2 + 2a
2 b
4 − a
2 b
2 X
2 − a
2 b
2 Y
2 − b
4 Z
2 )x 4 + a
2 b
2 − b
2 X
2 − b
2 Y
2 − 2b
2 Z
2 ,
(J.60)
(1 + a
2 x 4 )x 3 − Z ,
(J.61)
(a
4 − 2a
2 b
2 + b
4 )x
2
3 + (2a
2 b
2 Z − 2b
4 Z)x 3 − a
4 b
6 x
2
4 −
−2a
4 b
4 x 4 − a
4 b
2 + a
2 b
2 X
2 + a
2 b
2 Y
2 + b
4 Z
2 ,
(J.62)
(2b
2 − a
2 + b
4 x 4 )x
2
3 − a
2 Zx 3 + a
4 b
6 x
3
4 + (2a
4 b
4 + 2a
2 b
6 )x
2
4 +
+(a
4 b
2 + 4a
2 b
4 − a
2 b
2 X
2 − a
2 b
2 Y
2 − b
4 Z
2 )x 4 + 2a
2 b
2 − 2b
2 X
2 − 2bY
2 − 2b
2 Z
2 ,
(J.63)
(X
2 + Y
2 )x 2 + a
2 b
4 Y x
2
4 + Y (a
2 b
2 − b
2 x
2
3 − b
2 Zx 3 )x 4 + Y x
2
3 − Y
3 − Y Zx 3 − Y X
2 ,
(J.64)
(1 + b
2 x 4 )x 2 − Y ,
(J.65)
(a
2 x 3 − b
2 x 3 + b
2 Z)x 2 − a
2 x 3 Y ,
(J.66)
Y x 1 − Xx 2 ,
(J.67)
Xx 1 + a
2 b
4 x
2
4 + (a
2 b
2 + b
2 x
2
3 − b
2 Zx 3 )x 4 + x
2
3 − Zx 3 + Y x 2 − X
2 − Y
2 ,
(J.68)
(1 + b
2 x 4 )x 1 − X ,
(J.69)
(a
2 x 3 − b
2 x 3 + b
2 Z)x 1 − a
2 Xx 3 ,
(J.70)
x
2
1 + a
2 b
4 x
2
4 + (2a
2 b
2 + b
2 x
2
3 − b
3 Zx 3 )x 4 + 2x
2
3 − 2Zx 3 + x
2
2 − X
2 − Y
2 .
(J.71)