H-2 The ellipsoidal Hammer projection 615
subject to
cos α(Λ, Φ; c 3 , c 4 ) =
sin[Λ
∗ (Λ; c 3 )]
sin
2 [Λ ∗ (Λ; c 3 )]+ (1 − E 2 ) 2 tan
2 [Φ ∗ (Φ; c 4 )]
,
(H.77)
sin α(Λ, Φ; c 3 , c 4 ) =
(1 − E
2 ) tan[Φ
∗ (Φ; c 4 )]
sin
2 [Λ ∗ (Λ; c 3 )]+ (1 − E 2 ) 2 tan
2 [Φ ∗ (Φ; c 4 )]
,
(H.78)
r
2 (Λ, Φ; c 3 , c 4 ) = A
2
1
sin
2 [Λ
∗ (Λ; c 3 )]cos
2 [Φ
∗ (Φ; c 4 )]+ (1 − E
2 )
2 sin
2 [Φ
∗ (Φ; c 4 )]
/
(sin
2 [Λ
∗ (Λ; c 3 )]cos
2 [Φ
∗ (Φ; c 4 )]+ (1 − E
2 )
2 sin
2 [Φ
∗ (Φ; c 4 )] )
3/2
×
×
t
∗
1 (Λ, Φ; c 3 , c 4 ) + t
∗
2 (Λ, Φ; c 3 , c 4 ) + t
∗
3 (Λ, Φ; c 3 , c 4 ) + t
∗
4 (Λ, Φ; c 3 , c 4 )
,
(H.79)
Λ
∗ = c 3 Λ ,
(H.80)
sin Φ
∗ = c 4 sin Φ
1 +
2
3
E
2 sin
2 Φ(1 − c
2
4 ) +
1
15
E
4 sin
4 Φ(9 − 20c
2
4 + 11c
4
4 ) + O ( E
6 )
, (H.81)
c 1 c 2 c 3 c 4 = 1 .
(H.82)
(ii)
If the relative eccentricity vanishes, E = 0, then we arrive at the Hammer projection of the sphere
S
2
A 1
, namely
x = c 1 r(Λ, Φ; c 3 , c 4 ) cos α(Λ, Φ; c 3 , c 4 ) ,
y = c 2 r(Λ, Φ; c 3 , c 4 ) sin α(Λ, Φ; c 3 , c 4 ) ,
(H.83)
subject to
cos α(Λ, Φ; c 3 , c 4 ) =
1 − c 2
4 sin
2 Φ sin c 3 Λ
1 − (1 − c 2
4 sin
2 Φ) cos 2 c 3 Λ
,
(H.84 )
sin α(Λ, Φ; c 3 , c 4 ) =
c 4 sin Φ
1 − (1 − c 2
4 sin
2 Φ) cos 2 c 3 Λ
,
(H.85 )
r = A 1
√
2
1 −
1 − c 2
4 sin
2 Φ cos c 3 Λ ,
(H.86 )
x = c 1 A 1
√
2
1 − c 2
4 sin
2 Φ sin c 3 Λ
1 +
1 − c 2
4 sin
2 Φ cos c 3 Λ
,
(H.87)
y = c 2 A 1
√
2
c 4 sin Φ
1 +
1 − c 2
4 sin
2 Φ cos c 3 Λ
.
(H.88)