514 B The inverse of a multivariate homogeneous polynomial
Example B.4 (Inversion of a bivariate homogeneous polynomial of degeree n = 3).
Assume the bivariate homogeneous polynomial y(x) = A 11 x + A 12 x ⊗ x + A 13 x ⊗ x ⊗ x to be given
and find the inverse bivariate homogeneous polynomial x(y) = B 11 y + B 12 y ⊗ y + B 13 y ⊗ y ⊗ y by
the GKS algorithm.
Basic equations:
y(x) =
y 1
y 2
=
= A 11
x 1
x 2
+ A 12
x 1
x 2
⊗
x 1
x 2
+ A 13
x 1
x 2
⊗
x 1
x 2
⊗
x 1
x 2
,
(B.4 7)
x 1
x 2
⊗
x 1
x 2
⊗
x 1
x 2
=
x 1
x 2
[3]
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
x
3
1
x
2
1 x 2
x
2
1 x 2
x 1 x
2
2
x 2 x
2
1
x
2
2 x 1
x
2
2 x 1
x
3
2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
∈ R
8×1
(B.4 8)
(triple Kronecker– Z ehfuss product);
x(y) =
x 1
x 2
=
= B 11
y 1
y 2
+ B 12
y 1
y 2
⊗
y 1
y 2
+ B 13
y 1
y 2
⊗
y 1
y 2
⊗
y 1
y 2
,
(B.4 9)
y 1
y 2
⊗
y 1
y 2
⊗
y 1
y 2
=
y 1
y 2
[3]
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
y
3
1
y
2
1 y 2
y
2
1 y 2
y 1 y
2
2
y 2 y
2
1
y
2
2 y 1
y
2
2 y 1
y
3
2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
∈ R
8×1
(B.50)
(triple Kronecker– Z ehfuss product).