20-5 Deformation analysis: Riemann, Soldner, Gauss–Krueger coordinates 449
Proof (Riemann, l := L − L 0 , b := B − B 0 ).
Λ 1 = 1 +
cos
2 B 0
6
1 − E
2 sin
2 B 0
1 − E 2
l
2 +
1
6
1 − E
2
1 − E 2 sin
2 B 0
b
2 + O R (l
3 , b
3 ) , Λ 2 = 1 ,
(20.165)
I AR =
1
2S E 2
A 1 ,A 2
dS E 2
A 1 ,A 2
(Λ 1 − 1)
2 =
A
2
1 (1 − E
2 )
2S E 2
A 1 ,A 2
+l E
−l E
dl
B N
B S
dB
cos B(Λ 1 − 1)
2
(1 − E 2 sin
2 B) 2 ,
(20.166)
Λ 1 − 1 =
cos
2 B 0
6
1 − E
2 sin
2 B 0
1 − E 2
l
2 +
1
6
1 − E
2
1 − E 2 sin
2 B 0
b
2 + O R (l
3 , b
3 ) ,
(Λ 1 − 1)
2 =
cos
4 B 0
36
(1 − E
2 sin
2 B 0 )
2
(1 − E 2 ) 2
l
4 +
1
36
(1 − E
2 )
2
(1 − E 2 sin
2 B 0 ) 2 b
4 +
cos
2 B 0
18
l
2 b
2 + O R (l
5 , b
5 ) ,
(20.167)
cos B = cos(B 0 + b) = cos B 0 − sin B 0 b + O C (b
2 ) ,
1 − E
2 sin
2 B
2
−2 = 1 + 2E
2 sin
2 B + O(E
4 ) =
=
1 + 2E
2 sin B 0 + 4E
2 sin B 0 cos B 0 + O(E
4 )
b + O(b
2 ) ,
cos B(1 − E
2 sin
2 B)
−2 =
= cos B 0 − sin B 0 b + 2E
2 sin
2 B 0 cos B 0 − 2E
2 sin
3 B 0 b + 4E
2 sin B 0 cos
2 B 0 b + O(b
2 ) ,
B S = B 0 + b S , B N = B 0 + b N ,
(20.168)
S E 2
A 1 ,A 2
= A
2
1 (1 − E
2 )
+l E
−l E
dl
b N
b S
db(cos B 0 + 2E
2 sin
2 B 0 cos B 0 )+
+A
2
1 (1 − E
2 )
+l E
−l E
dl
b N
b S
db
− sin B 0 − 2E
2 sin
3 B 0 + 4E
2 sin B 0 cos
2 B 0 + o(E
4 )
b + O(b
2 ) ,
(20.169)
S E 2
A 1 ,A 2
= A
2
1 (1 − E
2 )l E
2(cos B 0 + 2E
2 sin
2 B 0 cos B 0 )(b N − b S )+
+
− sin B 0 − 2E
2 sin
3 B 0 + 4E
2 sin B 0 cos
2 B 0 + O(E
4 )
(b
2
N − b
2
S ) + O(b
3
N − b
3
S )
,
(20.170)
I AR =
A
2
1 (1 − E
2 )
2S E 2
A 1 ,A 2
+l E
−l E
dl
b N
b S
db
cos B 0 + 2E
2 sin
2 B 0 cos B 0 +
+
− sin B 0 − 2E
2 sin
3 B 0 + 4E
2 sin B 0 cos
2 B 0 cos
2 B 0 + O(E
4 )
b + O(b
2 )
×
×
cos
4 B 0
36
(1 − E
2 sin
2 B 0 )
2
(1 − E 2 ) 2
l
4 +
cos
2 B 0
18
l
2 b
2 +
1
36
(1 − E
2 )
2
(1 − E 2 sin
2 B 0 ) 2 b
4 + O R (l
5 , b
5 )
,
(20.171)